Решение.

Домножаем числитель и знаменатель на дробей на выражения, сопряжённые знаменателям , и применяем формулу разности квадратов :  [tex]\bf (a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex]

[tex]\bf \displaystyle \frac{1}{\sqrt1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\\\\\\=\frac{\sqrt2-\sqrt1}{(\sqrt1+\sqrt2)(\sqrt2-\sqrt1)}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt3-\sqrt2)}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt3+\sqrt4)(\sqrt4-\sqrt3)}+\\\\\\+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{99}+\sqrt{100})(\sqrt{100}-\sqrt{99})}=\\\\\\=\frac{\sqrt2-\sqrt1}{1}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{1}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{1}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{1}=[/tex]

[tex]\bf =\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3+...+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\\\\=\sqrt{100}-1=10-1=9[/tex]