Verified answer

Можно решить методом подстановки.

[tex]3x - 2y = 9 , \\ 4 {x}^{2} + 6y = 7[/tex]

Из любого уравнения в системе уравнений нужно выразить одну из переменных и подставить получившееся значение этой переменной в другое уравнение. Так мы получим ещё одно значение переменной, которое подставим в изначальное уравнение и найдём все неизвестные переменные.

Итак, по порядку.

Во-первых, нужно выразить любую переменную ([tex]x[/tex] или [tex]y[/tex]) из любого уравнения в системе уравнений.

Для удобства лучше взять [tex]y[/tex], и выразить эту переменную лучше будет из первого уравнения — оно простое.

Итак,

[tex]3x - 2y = 9[/tex]

[tex] - 2y = 9 - 3x[/tex]

[tex]2y = 3x - 9[/tex]

[tex]y = \frac{3x - 9}{2} [/tex]

Вот мы выразили значение переменной, идём дальше.

Во-вторых, нужно это значение переменной подставить в другое уравнение. Выражали из первого уравнения, подставляем во второе уравнение.

[tex]4 {x}^{2} + 6 \times ( \frac{3x - 9}{2} ) = 7[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + \frac{6 \times (3x - 9)}{2 } = 7[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 3 \times (3x - 9) = 7[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 9x - 27 = 7[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 9x - 34 = 0[/tex]

Квадратное уравнение, решу через дискриминант.

[tex]a = 4 , \: b = 9 , \: c = - 34 [/tex]

[tex]D = {b}^{2} - 4ac = {9}^{2} - 4 \times 4 \times ( - 34) = 81 + 544 = 625[/tex]

[tex]\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25[/tex];

[tex] x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9 - 25}{8} = \frac{ - 34}{8} = - \frac{17}{4}[/tex],

[tex]x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2 [/tex].

Итак, на втором этапе мы получили два значения переменной [tex]x[/tex]. Эти значения нужно подставить в уравнение, которое у нас получилось на первом этапе, когда выражали переменную [tex]y[/tex].

Вот в это:

[tex]y = \frac{3x - 9}{2} [/tex]

В третьих, подставляем полученное/-ые значение/-ия переменной в исходное уравнение, с которого начинали.

Так как значений у переменной [tex]x[/tex]два, то и у переменной [tex]y[/tex] их тоже будет два.

Итак,

[tex] x_{1} = - \frac{17}{4}[/tex],

[tex]y_{1} = \frac{3 \times ( - \frac{17}{4}) - 9}{2} = \frac{ -\frac{51}{4} - \frac{36}{4} }{2} = \frac{-\frac{87}{4} }{2} = [/tex]

тут вспоминаем правило деления на дробь: деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь, то есть, переворачиваем ту дробь, на которую делим, и ставим знак умножения вместо деления.

[tex] = - \frac{87}{4} \div \frac{2}{1} = - \frac{87}{4} \times \frac{1}{2} = - \frac{87}{4 \times 2} = - \frac{87}{8} [/tex];

[tex] x_{2} = 2[/tex],

[tex]y_{2} = \frac{3 \times 2 - 9 }{2} = \frac{ 6 - 9 }{2} = \frac{-3}{2} = - \frac{ 3}{2} [/tex]

Всё, нашли все значения переменных.

Важно не забывать, что если значений получилось несколько, то они записываются в паре. Например, [tex] x_{1}[/tex]только с [tex]y_{1}[/tex], никак нельзя записывать [tex]x_{1}[/tex] с [tex]y_{2}[/tex], это нарушение.

Ответ записывают по разному, кого как учат в школе. Либо как у меня в решении с цифрами, либо в скобках.

Ответ:

[tex]x_{1} = -\frac{17}{4} , \: y_{1} = - \frac{87}{8} [/tex];

[tex]x_{2} = 2 , \: y_{2} = - \frac{3}{2} [/tex]

либо

Ответ:

[tex]( - \frac{17}{4} ; \: - \frac{87}{8} ) , \: ( 2 ; \: -\frac{3}{2} )[/tex]

Можно, конечно, перевести в десятичные дроби, если вам так удобнее:

[tex] - \frac{87}{8} = - 10.875[/tex],

[tex] -\frac{17}{4} = - 4.25[/tex],

[tex] -\frac{3}{2} = - 1.5[/tex]

Можно решить методом сложения.

[tex]3x - 2y = 9 , \\ 4 {x}^{2} + 6y = 7[/tex]

Суть: сложить два уравнения так, чтобы исчезла одна из переменных.

Нужно, чтобы при сложении одна из переменных в сумме была равна нулю. То есть, эта самая переменная в одном уравнении должна быть со знаком плюс, во втором уравнении должна быть со знаком минус. И должна иметь одинаковое число перед собой (коэффициент). И в итоге она будет равна нулю при сложении. Но как правило, нужно привести уравнение к нужному виду. В данном случае так.

Начнём.

Во-первых, приведём к нужному виду уравнения. Возьмём первое уравнение и умножим на 3, чтобы получилось [tex] - 6y[/tex] в первом уравнении и [tex]6y[/tex] во втором уравнении.

Умножаем.

[tex]3x - 2y = 9 \: \: \: \: | \times 3[/tex]

[tex]9x - 6y = 27[/tex]

Получили новую систему уравнений:

[tex]9x - 6y = 27 , \\ 4 {x}^{2} + 6y = 7[/tex]

Во-вторых, складываем уравнения.

[tex] 9x + 4 {x}^{2} + ( - 6y) + 6y = 27 + 7[/tex]

[tex]4 {x}^{2} + 9x - 34 = 0[/tex]

Получили квадратное уравнение, которое решали в первом способе. Решение такое же.

[tex]x_{1} = -\frac{17}{4} [/tex],

[tex]x_{2} = 2 [/tex]

В третьих, подставляем полученные значения в любое из уравнений в системе. Схема решения дальше такая же, что и в методе подстановки.

[tex] y_{1} = - \frac{87}{8} [/tex],

[tex] y_{2} = - \frac{3}{2} [/tex]

И ответ получается такой же.