1) По теореме косинусов ;

2) По теореме синусов ; AB=5.

3) Из теоремы косинусов следует, что Пусть напротив стороны длиной 6 см лежит угол α, напротив отрезка длиной 8 см лежит угол , а напротив стороны длиной 11 см лежит угол β.

Тогда cosα=(8^2+11^2-6^2)/(2*8*11)= 149/176. Значит, α - острый угол.

cosγ=(6^2+11^2-8^2)/(2*6*11)= 93/132

Следовательно, -острый угол.

Аналогично . Выходит, что ;

x=-8 или x=5. Значит, x=5. Тогда периметр треугольника равен 5+(5+3)+7=20 см.

5) Пусть a=4 см, b=13 см и c=15 см. Найдем площадь треугольника по формуле Герона. , где p-полупериметр треугольника. Тогда p=16 см и =24. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле . Тогда =1,5.

6) Пусть медиана к стороне длиной  4 см равна с. Достроим треугольник до параллелограмма с диагоналями равными 4 и 2*с.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Докажем этот факт. Ясно, что с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosα. Аналогично d^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(180α)=a^2+b^2+2*a*b*cosα. Сложим полученные  равенства. Выходит, что c^2+d^2=2(a^2+b^2), ч.т.д.

Тогда имеем: 2*(5^2+7^2)=(2*c)^2+4^2

Решив это уравнение получим, что