30б. Наименьшее общее кратное двух (НОК) натуральных чисел больше наибольшего общего делителя (НОД) в 6 раз. Найдите эти числа, если известно, что разность чисел равна 12.
AlexArdguna
Все хорошо, но это седьмой класс) В любом случае, кажется решение уже нашел)
igorShap
Так а что в ответе может быть непонятным для семиклассника?) Я не использовал ничего из программы старших классов
igorShap
Если надо что-то объяснить или расписать - я распишу)
AlexArdguna
А, ну по сути оно и верно. все действительно в рамках седьмого класса. Слово "тождество" напугало, но если вдуматься, то да) В таком случае еще большие благодарности)
igorShap
А, ну просто это известное утверждение, которое постоянно в этих задачах используется, можно было назвать это свойством, уравнением связи НОК и НОД - суть же не изменится
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
36, 24
Объяснение:
Пусть это числа а и в
НОК(а,в)=6*НОД(а,в); а=в+12; => а и в дают один остаток при делении на 3 (1)
(Используем тождество НОК(f, g)*НОД(f, g)=f*g)
ав=6*НОД²(а, в) => aв делится на 3 => хотя бы одно из чисел а и в дает остаток 0 при делении на 3 => (1) => оба кратны 3. Пусть а=3с, в=3м.
9см=6*НОД²(3с, 3м); c=m+4 => с и м имеют одну четность (2)
9см=6*3²*НОД²(с, м)
см=6*НОД²(с, м) => см делится на 2 => хотя бы одно из чисел с и м четно => (2) => оба четны. Пусть с=2x, м=2у.
4ху=6*НОД²(2х, 2у); x=y+2 => x и y имеют одну четность (3)
4ху=6*2²*НОД²(х, у);
ху=6*НОД²(х, у); => ху делится на 2 => хотя бы одно из чисел х и у четно => (3) => оба четны. Пусть x=2s, y=2t.
4st=6*НОД²(2s, 2t); s=t+1 => t и s - последовательные натуральные числа => НОД(t, s)=1 (4)
4st=6*2²*НОД²(s, t)
st=6*НОД²(s, t) => (4) => st=6 => t(t+1)=6 => t²+t-6=0 => (t - натуральное) => t=2 => s=3
Тогда x=6, y=4. => с=12, м=8 => а=36, в=24