Ответ:

На рисунку 21.23 дані точки А, к і проведена висота AH. Щоб побудувати рівнобедрений трикутник АВС за вершиною А, спочатку потрібно знайти середину сторони АВ – точку М.

Далі треба провести пряму, яка перетинає висоту AH у точці К і сторону ВС у точці L.

Доведемо, що трикутник АКL є рівнобедреним:

1) Тривіально: збігаються обидві точки А і К.

2) АВ і LH є бічними сторонами рівнобедреного трикутника ALH.

3) ∠AHL = 90°, так як HL – висота трикутника.

4) ∠ALH = ∠ALB, так як вони додаткові до зовнішнього кута ∠B.

5) Зі степенів точки К вписаної в коло з центром М і радіусом МК отримаємо:

КМ · КЛ = КА · КВ.

АЛЕ КМ = МВ = МА / 2, КА = АН, КВ = АС.

Отже:

АН · АС = МА · КЛ = 2КМ · КЛ = 2КВ · КА = АС · АЛ.

Звідки АЛ = АН і трикутник АКL є рівнобедреним.

Через те, що в рівнобедреному трикутнику дві бічні сторони однакові, то ВК = КС.

Нарешті, щоб знайти точку С, варто провести відрізок КС, що буде середньою лінією трикутника АБС.

Отже, трикутник АБС буде рівнобедреним, де точка К лежить на бічній стороні ВС і лінії, що містить висоту AH.