Ответ:

n= 5 ;n= 8

Объяснение:

В арифметической прогрессии [tex]a{_3}= 16,a{_9}= -8, S{_n}= 80[/tex]. Найти    n.

Воспользуемся формулой n- го члена арифметической прогрессии

[tex]a{_n}= a{_1} +d\cdot(n-1)[/tex]

Выразим третий и девятый члены прогрессии

[tex]a{_3}= a{_1} +2d;\\a{_9}= a{_1} +8d.[/tex]

Тогда составим и решим систему:

[tex]\left \{\begin{array}{l} a{_1}+2d =16, \\a{_1}+8d =-8; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}+2d =16, \\6d =-24; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} a{_1}-8 =16, \\d =-4; \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} a{_1} =24, \\d =-4. \end{array} \right.[/tex]

Воспользуемся формулой суммы n- первых членов арифметической прогрессии и найдем n

[tex]S{_n}= \dfrac{2a{_1}+d\cdot(n-1)}{2} \cdot n[/tex]

[tex]\dfrac{2\cdot 24+(-4)\cdot(n-1)}{2} \cdot n=80;\\\\ \dfrac{48-4\cdot(n-1)}{2} \cdot n=80;\\\\ \dfrac{48-4n+4}{2} \cdot n=80;\\\\\dfrac{52-4n}{2} \cdot n=80;\\\\\dfrac{2\cdot (26-2n)}{2} \cdot n=80;\\\\2\cdot(13-n)\cdot n =80|:2;\\\\(13 -n)\cdot n =40;\\\\13n-n^{2} =40;\\\\n^{2} -13n +40=0[/tex]

[tex]D= (-13)^{2} -4\cdot1\cdot 40=169-160=9=3^{2} ;\\\\n{_1}= \dfrac{13-3}{2} =\dfrac{10}{2} =5;\\\\n{_2}= \dfrac{13+3}{2} =\dfrac{16}{2} =8[/tex]

Проверим

При n= 5  получим числа

24; 20; 16; 12; 8

Их сумма  24 + 20 +16 +12 +8 = 80 верно

При n= 8  получим числа

24; 20; 16; 12; 8; 4; 0; - 4

Их сумма  24 + 20 +16 +12 +8 +4 +0+ (-4)  = 80 верно

Значит, n= 5  или n= 8

#SPJ1