Verified answer

3.2 В треугольник с углами 30º, 70º, и 80º вписан круг. Найти углы треугольника, вершины которого являются точки касания вписанного круга со сторонами данного треугольника. 

Пусть в треугольнике АВС угол А=80º, угол В=30º, угол С=70º

Точки касания: на АВ-К, на ВС- М, на АС - Н; центр круга - О. 

Соединим центр круга с точками касания. 

Радиусы ОК, ОМ, ОН, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам ∆ АВС и образуют с ними углы 90º.

Сумма углов четырехугольника 360º.

Отсюда в четырехугольнике ВКОМ центральный угол КОМ=360º-2•90º-30º=150º

Величина вписанного угла КНМ, опирающегося на ту же дугу, равна половине угла КОМ. 

Угол КНМ =150º:2=75º

Аналогично в четырехугольнике АКОН угол КОН=100º, а вписанный угол КМН=100º:2=50º

В четырехугольнике МОНС угол МОН=110º, а вписанный угол МКН=110:2=55º

Углы треугольника КМН равны 75º, 50º, 55º, и их сумма равна 180º

________________

 3.14. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,  выражается формулой r=(a+b-c):2, где r- радиус вписанного круга. а и b - катеты, с - гипотенуза. 

Начертим прямоугольный треугольник АВС, центр вписанного круга О, точки его касания со сторонами 

на АС-М, на АВ- К, на СВ -Н

Пусть АС=а, ВС=b, АВ=с.А

Для вписанного круга стороны треугольника - касательные. 

Отрезки касательных от точки вне круга до точек касания равны. 

АМ=АК=а-r,  NH+BK=b-r.⇒

AB=с= a-r+b-r=a+b-2r

c=a+b-2r

2r=a+b-c

r=(a+b-c):2, что и требовалось доказать.