У рівнобедреному прямокутному трикутнику, площа якого 32 см², через середину гіпотенузи провели відрізки, паралельні катетам. Доведіть, що утворений чотирикутник – квадрат та знайдіть його площу.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, площадь которого 32 см², через середину гипотенузы провели отрезки, параллельные катетам. Докажите, что образованный четырехугольник - квадрат и найдите его площадь.
Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
⇒ КЕ - средняя линия.
КН || АС
⇒ КН - средняя линия.
Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.
⇒ [tex]\displaystyle KE = \frac{1}{2}AB;\;\;\;\;\;KH=\frac{1}{2}AC}[/tex]
Так как АВ = АС, то КЕ = КН.
Противоположные стороны прямоугольника равны.
⇒ КЕ = КН = АН = АЕ.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
⇒ АНКЕ - квадрат.
Решение:
3. Найдем катеты ΔАВС.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Answers & Comments
Ответ:
Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².
Объяснение:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике, площадь которого 32 см², через середину гипотенузы провели отрезки, параллельные катетам. Докажите, что образованный четырехугольник - квадрат и найдите его площадь.
Дано: ΔАВС - равнобедренный прямоугольный треугольник.
ВК = КС;
КЕ || АВ; КН || АС.
S(ABC) = 32 см².
Доказать: АНКЕ - квадрат,
Найти: S(АНКЕ).
Доказательство:
1. КЕ || АВ; КН || АС;
АВ ⊥ АС;
⇒ КЕ ⊥ АС; КН ⊥ АВ.
⇒ АНКЕ - прямоугольник.
2. Рассмотрим АВС - равнобедренный, прямоугольный.
⇒ АВ = АС
ВК = КС (условие)
КЕ || АВ (условие)
⇒ КЕ - средняя линия.
КН || АС
⇒ КН - средняя линия.
⇒ [tex]\displaystyle KE = \frac{1}{2}AB;\;\;\;\;\;KH=\frac{1}{2}AC}[/tex]
Так как АВ = АС, то КЕ = КН.
⇒ КЕ = КН = АН = АЕ.
⇒ АНКЕ - квадрат.
Решение:
3. Найдем катеты ΔАВС.
Пусть АВ = АС = а см
[tex]\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}a^2\\\\32=\frac{1}{2}a^2\\ \\a^2=64\\\\a=8\;_{(CM)}[/tex]
⇒ КЕ = КН = АН = АЕ = 8 : 2 = 4 (см)
S (АНКЕ) = 4² = 16 (см²)
Площадь квадрата АНКЕ равна 16 см².