Существует 21 — целое решение уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом
Объяснение:
Сколько существует целых решений уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом?
Теорема. Линейное диофантово уравнение ax+by = c
с неизвестными x и y имеет решение тогда и только тогда, когда c ⫶ НОД(a,b) , c ≥ НОД(a,b)
97x - 45y = 3
Введем обозначение y₁ = 3y
97x - 15y₁ = 3
Из выше указанной теоремы, 3 ⁝ НОД(x , y₁) ⇒ x ⋮ 3, при этом сам y необязательно кратен трем, таким образом [tex]x = 3k , k \not \vdots~ 3[/tex] , поскольку в случаи кратности k к трем, НОД будет равен 9, а как нам известно правая часть уравнения кратна только 3
Соответственно всё множество решений уравнения 97k - 15y = 1 — это пары вида k = -2 + 15m , y=-13 +97m для произвольных целых m
Вспомним что x = 3k ⇒ исходное уравнение имеет множество целых решений :
3k = x = -6 + 45m , y=-13 +97m
Ну и напоследок просто остается найти такие m, при которых хотя бы одно из чисел x и y является трехзначным, т.е
Случаи при которых x - трехзначный
100 ≤ x ≤ 999
100 ≤ -6 + 45m ≤ 999
[tex]\dfrac{106}{45} \leqslant m \leqslant \dfrac{1005}{45} \\\\\\ 2 \dfrac{16}{45} \leqslant m \leqslant 22 \dfrac{15}{45}[/tex]
Поскольку m - целое, то [tex]3\leqslant m_x\leqslant 22[/tex]
Случаи при которых y - трехзначный
100 ≤ y ≤ 999
100 ≤ -13 +97m ≤ 999
[tex]1\dfrac{16}{97} \leqslant m \leqslant 10 \dfrac{42}{97}[/tex]
Из-за целостности получаем что [tex]2\leqslant m_y\leqslant 10[/tex]
В совокупности
[tex](m_x \cup m_y ) \in [2 ~ ;~ 22 ~][/tex]
Итак, существует 22 - 2 + 1 = 21 — целое решение уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом
Answers & Comments
Ответ:
Существует 21 — целое решение уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом
Объяснение:
Сколько существует целых решений уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом?
Теорема. Линейное диофантово уравнение ax+by = c
с неизвестными x и y имеет решение тогда и только тогда, когда
c ⫶ НОД(a,b) , c ≥ НОД(a,b)
97x - 45y = 3
Введем обозначение y₁ = 3y
97x - 15y₁ = 3
Из выше указанной теоремы, 3 ⁝ НОД(x , y₁) ⇒ x ⋮ 3, при этом сам y необязательно кратен трем, таким образом [tex]x = 3k , k \not \vdots~ 3[/tex] , поскольку в случаи кратности k к трем, НОД будет равен 9, а как нам известно правая часть уравнения кратна только 3
Тогда мы получим новое уравнение
97·3k - 45y = 3 | : 3
97k - 15y = 1
*97 = 15·6 + 7 ⇒ 7 = 97 - 15·6
** 1 = 15 - 2·7
Подставив следствие из * во ** , и получим что :
1 = 15 - 2 · (97 - 15·6) = 13·15 - 2·97
Значит, уравнение 97k - 15y = 1 имеет корень k₀ = -2 , y₀ = -13
97k₀ - 15y₀ = 1
97(k₀ +15) - 15(y₀ + 97) = 1
Соответственно всё множество решений уравнения 97k - 15y = 1 — это пары вида k = -2 + 15m , y=-13 +97m для произвольных целых m
Вспомним что x = 3k ⇒ исходное уравнение имеет множество целых решений :
3k = x = -6 + 45m , y=-13 +97m
Ну и напоследок просто остается найти такие m, при которых хотя бы одно из чисел x и y является трехзначным, т.е
Случаи при которых x - трехзначный
100 ≤ x ≤ 999
100 ≤ -6 + 45m ≤ 999
[tex]\dfrac{106}{45} \leqslant m \leqslant \dfrac{1005}{45} \\\\\\ 2 \dfrac{16}{45} \leqslant m \leqslant 22 \dfrac{15}{45}[/tex]
Поскольку m - целое, то [tex]3\leqslant m_x\leqslant 22[/tex]
Случаи при которых y - трехзначный
100 ≤ y ≤ 999
100 ≤ -13 +97m ≤ 999
[tex]1\dfrac{16}{97} \leqslant m \leqslant 10 \dfrac{42}{97}[/tex]
Из-за целостности получаем что [tex]2\leqslant m_y\leqslant 10[/tex]
В совокупности
[tex](m_x \cup m_y ) \in [2 ~ ;~ 22 ~][/tex]
Итак, существует 22 - 2 + 1 = 21 — целое решение уравнения 97x−45y=3, при которых хотя бы одно из чисел x и y является положительным трёхзначным числом