Пусть AB = AC = x - стороны рівнобедреного трикутника АВС, BC = y - основа, а h - висота, проведена до основи BC.

Периметр трикутника АВС дорівнює сумі довжин його сторін:

AB + AC + BC = 2x + y = 36 (1)

Також, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АВН з катетами AB = x/2 і h, і гіпотенузою AN (де N - середина BC), виконується співвідношення:

AN^2 = AB^2 + h^2

У рівнобедреному трикутнику АВС медіана AN є бісектрисою кута А, тому AN ділить основу BC на дві рівні частини, тобто:

BN = NC = y/2

З іншого боку, з умови задачі відомо, що периметр трикутника АВН дорівнює 24 см, тобто:

AB + BN + NV = x/2 + y/2 + NV = 24 (2)

Звідси, за формулою для середньої лінії трикутника (NV = h) маємо:

NV = (BN + NC)/2 = y/4

Підставляємо в (2) вираз для NV і отримуємо рівняння з однією невідомою y:

x/2 + y/2 + y/4 = 24

Після простих алгебраїчних перетворень отримуємо:

y = 16 - x

Підставляємо це значення y в (1) і маємо:

2x + (16 - x) = 36

x = 10

Отже, AB = AC = 10 см. Застосовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника АВН, маємо:

AN^2 = AB^2 + h^2

(5/2)^2 = 10^2/4 + h^2

25/4 = 25 + h^2

h^2 = -75/4

Отже, значення висоти є комплексним числом, що неможливо з фізичної точки зору. Це свідчить про те, що задача має некоректну постановку.