3...

August 2022 1 11 Report

помогите решить пределы)
без правила лопиталя!!!
1.
[tex]lim \frac{ \sqrt{1 - cos ({x}^{2} )} }{ 1 - cosx} [/tex]
x->0
2.
[tex]lim \frac{sin(x - \frac{\pi}{3} )}{1 - 2cosx} [/tex]
х->pi/3

Answers & Comments

DNHelper

Verified answer

Ответ:

1. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Пошаговое объяснение:

1. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos{x^2}}}{1-\cos{x}}=\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{\dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку функция квадратного корня непрерывна, её можно вынести за знак предела.

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos{x^2}}{(1-\cos{x})^2}}$

Поскольку аргументы косинусов стремятся к нулю, заменим функции на эквивалентные ( $1-\cos{x}\sim\dfrac{x^2}{2}$ ):

$\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{(x^2)^2}{2}}{\left(\dfrac{x^2}{2}\right)^2}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{2}}{\dfrac{x^4}{4}}}=\sqrt{\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. Пусть $y=x-\dfrac{\pi}{3}$ . Тогда $x=y+\dfrac{\pi}{3}$ , а при $x\to\dfrac{\pi}{3}\ y\to 0$ . Тогда, выполнив замену, получаем:

$\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}}{1-2\cos{x}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cos{\left(y+\dfrac{\pi}{3}\right)}}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cos{y}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{y}\right)}=\\=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{\sin{y}}{1-\cos{y}+\sqrt{3}\sin{y}}$

Поскольку аргумент синуса и косинуса стремится к нулю, заменим функции на эквивалентные ( $\sin{y}\sim y,1-\cos{y}\sim \dfrac{y^2}{2}$ ):

$\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{y}{\dfrac{y^2}{2}+\sqrt{3}y}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{2}{y+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{0+2\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

texh gt0pomogite pozhalujsta

texh gt3pozhalujsta

najti ploshad obektana karte 20 mm2 na mestnostimasshtab ploshadi v 1 sm2 4000

poslovicy v yavnoj logicheskoj forme1 mal zolotnik da dorog2 pustaya bochka gromch

socialnyj institut cherty i svojstva avnutrenniebvneshnii pomogite pozhalujsta z

kak nazyvaetsya eto veshestvo pomogite pozhalujstae32b6cf3412b2f79bbf240dd11cfbd18 96295

kakoj harakter nosit lirika as pushkina v 30 e gody

otnoshenie tolstogo k vojne t1 ch 2 gl4pochemu knyaz andrej hochet prinyat uchast

pomogite reshit neravenstvopozhalujstasrochno

pomogite pozhalujsta6d51792a4d0fc3fdac4f807a006abfb4 53453

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social