Verified answer

Ответ:

а) ребро пирамиды=3√5 см

б) площадь полной поверхности пирамиды

108 см²

Объяснение:

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

а) найдите боковое ребро пирамиды

б) найдите площадь полной поверхности пирамиды

РЕШЕНИЕ:

обозначим вершины пирамиды А В С Д Р. В основании правильной четырёхугольной пирамиде лежит квадрат, поэтому АВ=ВС=СД=АД=6 см, а также боковые рёбра тоже равны: РA=РB=РC=РД.

Проведём две апофемы (высоты боковых граней пирамиды) РK и РE. Так как ребра пирамиды равны, то грани пирамиды являются равными равнобедренным треугольниками, а высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию является ещё медианой, которая делит сторону основания пополам, поэтому ДК=КС=6÷2=3(см)

Обозначим углы боковых граней с основанием РKE и РEK.

а) Соединим точки Е и К. ЕК || ВС || АД → ЕК=ВС=АД=6см. Рассмотрим ∆РEK. Он равнобедренный, так как пирамида правильная, тогда РE=РK. Сумма углов треугольника равна 180°, тогда

∠EРK=180–∠РEK–∠РKE=180–60–60=60° → ∆РEK – равносторонний, значит РE=РK=EK=6см.

Рассмотрим ∆ДРK – он прямоугольный, где ребро пирамиды РД является гипотенузой, а РК и ДК – катеты. Найдём РД по теореме Пифагора:

РД²=РK²+ДК²=6²+3²=36+9=45

РД=√45=3√5 (см)

ОТВЕТ: ребро пирамиды=3√5 см

б) полная площадь поверхности пирамиды (Sпол) равна сумме площадей всех её граней:

Sпол=Sосн+Sгр•4( так как все 4 боковые грани равны).

Sосн=СД²=6²=36 (см²)

Sгр=1/2•СД•PK=1/2•6•6=18 (см²)

Площадь 4-х граней: Sгр•4=18•4=72 (см²)

Sпол=36+72=108 (см²)

ОТВЕТ: Sпол=108 см²