Ответ:

дно бассейна 0,4х0,4 м

высота бассейна 0,2 м

Пошаговое объяснение:

Задача на поиск минимума функции.

Пусть сторона квадрата дна равна a м, а высота резервуара h м, тогда:

площадь поверхности данного бассейна S равна площади поверхности параллелепипеда без учета верхней грани (бассейн открыт сверху по определению). Напишем, чему равна S:

S=a²+4ah.

Площадь поверхности зависит от двух переменных a и h (т.е. S есть функция двух переменных. Это слишком много(. Уменьшим количество переменных следующим способом:

объем нашего бассейна V=32 л. Сразу переведем литры в кубические метры, чтобы в ответе получить размерность в метрах: V=32 [л]=32*10⁻³ [м³]

V=a²h;  ⇒ a²h=32*10⁻³

Из формулы объема выразим h:

h=32*10⁻³/a²

Подставим значение h в нашу функцию:

S(a)=a²+4a(32*10⁻³)/a²=a²+4(32*10⁻³)/a=(a²+128*10⁻³)/a;

S(a)=(a³+128*10⁻³)/a=(a³+0.128)/a

Замечаем, что функция непрерывна во всех точках, кроме одной, где a=0.

Найдем минимум этой функции (если он есть, конечно):

1. найдем производную:

S'(a)=((a³+0.128)'*a-a'((a³+0.128))/a²=(3a²*a-a³-0.128)/a²=(2a³-0.128)/a²

2. приравняем к нулю:

S'(a)=0; (2a³-0.128)/a²=0; ⇒ 2a³-0.128=0; (на всякий случай a≠0 - хотя это ясно из условия);

2a³-0.128=0; a=∛(0.128/2)=∛0.064=0.4;

3. проверяем, то этот экстремум именно минимум функции (а не максимум) любым известным способом. Сделай это сам.

Получаем размерности бассейна:

a=0.4 м, h=0,032/0,4²=0,032/0,16=0,2 м