Ответ:

• [tex]\displaystyle x=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}+e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}-4\frac{dx}{dt} +4x=e^t+e^{2t}+1[/tex]

Перепишу это уравнение в более привычном виде:

[tex]x''-4x'+4x=e^t+e^{2t}+1[/tex]

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Алгоритм решения данных уравнений предельно прост:

1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения.

2. Находим частное решение неоднородного уравнения.

3. Находим общее решение неоднородного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

1. Решим соответствующее однородное уравнение:

[tex]x''-4x'+4x=0[/tex]

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

[tex]k^2-4k+4=0\\(k-2)^2=0\\k_{1,2}=2[/tex]

Получили два равных действительных корня, поэтому общее решение однородного уравнения запишется следующим образом:

[tex]\displaystyle X=C_1e^{k_1t}+C_2te^{k_2t}=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}[/tex]

2. Правую специальную часть [tex]f(t)=e^t+e^{2t}+1[/tex] разобьем на сумму нескольких функций: [tex]f(t)=f_1(t)+f_2(t)+f_3(t)[/tex], где [tex]f_1(t)=e^t[/tex], [tex]f_2(t)=e^{2t}[/tex], [tex]f_3(t)=1[/tex].

Теперь находим частные решения трех неоднородных уравнений [tex]x''-4x'+4x=f_1(t)[/tex], [tex]x''-4x'+4x=f_2(t)[/tex], [tex]x''-4x'+4x=f_3(t)[/tex]:

1) Общий вид функции [tex]f_1(t)[/tex] имеет вид: [tex]f_1(t)=Ae^t[/tex].

[tex]\widetilde{x}_1=Ae^t\\\widetilde{x}'_1=e^t\\\widetilde{x}''_1=e^t[/tex]

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

[tex]e^t-4e^t+4Ae^t=e^t\\Ae^t=e^t \;\Rightarrow A=1[/tex]

Тогда частное решение первого уравнения:

[tex]\widetilde{x}_1=Ae^t=e^t[/tex]

2) Общий вид функции [tex]f_2(t)[/tex] имеет вид: [tex]f_2(t)=At^2e^{2t}[/tex].

[tex]\widetilde{x}_2=At^2e^{2t}\\\widetilde{ x}_2'=(2At^2+2At)e^{2t}\\\widetilde{ x}_2''=(4At^2+8At+2A)e^{2t}[/tex]

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

[tex]\displaystyle (4At^2+8At+2A)e^{2t}-4(2At^2+2At)e^{2t}+4At^2e^{2t}=e^{2t}\\4At^2+8At+2A-8At^2-8At+4At^2=1\\2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}[/tex]

Тогда частное решение второго уравнения:

[tex]\displaystyle \widetilde{x}_2=At^2e^{2t}=\frac{1}{2} t^2e^{2t}[/tex]

3) Общий вид функции [tex]f_3(t)[/tex] имеет вид: [tex]f_3(t)=A[/tex].

[tex]\widetilde{x}_3=A\\\widetilde{ x}_3'=0\\\widetilde{ x}_3''=0[/tex]

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

[tex]\displaystyle 4A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{4}[/tex]

Тогда частное решение третьего уравнения:

[tex]\displaystyle \widetilde{x}_3=A=\frac{1}{4}[/tex]

Теперь запишем частное решение исходного неоднородного уравнения:

[tex]\displaystyle \widetilde{x}=\widetilde{x}_1+\widetilde{x}_2+\widetilde{x}_3=e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}[/tex]

3. Записываем общее решение исходного неоднородного уравнения:

[tex]\displaystyle x=X+\widetilde{x}=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}+e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}[/tex]