1) Мне не спалось, и, чтобы пройти в библиотеку и взять там что-нибудь почитать, я вышел поздней ночью в зал, освещённый только бледным отсветом лунного света да крошечными огоньками лампадок.(правильно)
2) Я начала чтение без разбора, с первой попавшейся мне книги, не зная ни авторов, ни названий произведений, но судьба хранила меня: то (главная часть разорвана изъяснительным придаточным), что я узнала и пережила до сих пор, было так благородно, так строго, что меня теперь не могла ни расстроить, ни упрекнуть в чём-либо ни одна прочитанная страница. (нет)
3) Я долго ходила взад и вперед по красной комнате, испытывая какое-то необъяснимое чувство: (а именно какое?) вот-вот кто-то войдёт, чтобы похитить меня. (нет)
4) Ему вовсе не хотелось шпионить за своей женой, так как они всегда доверяли друг другу, и если он и отправился теперь к её сестре, то только для того, чтобы проведать тёщу.  (правильно)

5) Откуда приплыли на этот остров индейцы, ученые спорят и по сию пору: одни доказывают, что их родиной была Флорида, а другие уверяют, будто прибыли они из Венесуэлы.