Для розв'язання даної системи лінійних рівнянь методом Гаусса, спершу запишемо систему у розширеній матричній формі і виконаємо послідовні операції над рядками матриці, щоб знайти рішення:

Початкова система рівнянь:

3x + 2y - z = -4

x - 2y - 2z = 3

-x + y + z = -2

Запишемо її у вигляді розширеної матриці:

css

Copy code

[  3   2  -1  |  -4  ]

[  1  -2  -2  |   3  ]

[ -1   1   1  |  -2  ]

Крок 1: Переведемо перший рядок у відповідний ступінчастий вигляд, поділивши його на 3:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  1  -2    -2    |   3     ]

[ -1   1     1    |  -2     ]

Крок 2: Віднімемо перший рядок від другого рядка:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  0  -8/3  -5/3  |   13/3  ]

[ -1   1     1    |  -2     ]

Крок 3: Додамо перший рядок до третього рядка:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  0  -8/3  -5/3  |   13/3  ]

[  0   5/3   2/3  |  -10/3  ]

Крок 4: Поділимо другий рядок на -8/3, щоб отримати коефіцієнт 1 перед x:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  0   1     5/8   |  -13/8 ]

[  0   5/3   2/3   |  -10/3 ]

Крок 5: Віднімемо 2/3 другого рядка від третього рядка:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  0   1     5/8   |  -13/8 ]

[  0   0     1/8   |   1/8  ]

Крок 6: Поділимо третій рядок на 1/8, щоб отримати коефіцієнт 1 перед z:

css

Copy code

[  1   2/3  -1/3  |  -4/3  ]

[  0   1     5/8   |  -13/8 ]

[  0   0     1     |   1     ]

Крок 7: Використаємо зворотні підстановки для знаходження значень x, y і z. Почнемо з останнього рядка:

З третього рядка маємо z = 1.

Потім з другого рядка отримуємо y:

y + (5/8)z = -13/8

y + (5/8)(1) = -13/8

y + 5/8 = -13/8

y = -13/8 - 5/8

y = -18/8

y = -9/4

Нарешті, з першого рядка отримуємо x:

x + (2/3)y - (1/3)z = -4/3

x + (2/3)(-9/4) - (1/3)(1) = -4/3

x - 6/4 - 1/3 = -4/3

x - 3/2 - 1/3 = -4/3

x - 9/6 - 2/6 = -12/6

x - 11/6 = -12/6

x = -12/6 + 11/6

x = -1/6

Отже, рішення системи рівнянь методом Гаусса є:

x = -1/6

y = -9/4

z = 1