Verified answer

1. Для нахождения промежутков возрастания функции необходимо найти ее производную и решить неравенство f'(x) > 0.

y = 4/3x³ - 8x²

y' = 4x²(3x-8)

Чтобы найти промежутки возрастания, нужно решить неравенство:

4x²(3x-8) > 0

Для этого необходимо разбить числовую прямую на три интервала:

x < 0

0 < x < 8/3

x > 8/3

Подставляя в неравенство числа из каждого интервала, получаем:

x < 0: 4x²(3x-8) < 0 - неравенство не выполнено

0 < x < 8/3: 4x²(3x-8) < 0 - неравенство не выполнено

x > 8/3: 4x²(3x-8) > 0 - неравенство выполнено

Таким образом, функция y возрастает в интервале x > 8/3.

Ответ: промежуток возрастания функции - x > 8/3.

2. Чтобы найти точки максимума функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю, затем проверить знаки производной слева и справа от найденных точек.

y = 1/3x³ - 9x

y' = x² - 9

Приравняем y' к нулю и найдем точки, в которых производная равна нулю:

x² – 9 = 0

x = ±3

Проверим знаки производной слева и справа от найденных точек:

при x<-3: y' = x² - 9<0 - производная отрицательная, функция убывает;

при -3<x<3: y' = x² - 9>0 - производная положительная, функция возрастает;

при x > 3: y' = x² – 9 > 0 – производная положительная, функция возрастает.

Таким образом, точка x = –3 является точкой минимума, а точка x = 3 является точкой максимума.

Ответ: точка максимума функции - (3, -18), где -18 - значение функции в точке максимума.