Дана система уравнений:

$$\begin{cases}3xy+x=10 \ |3xy+y|=12 \end{cases}$$

Для удобства, рассмотрим второе уравнение в двух случаях, в зависимости от знака выражения $3xy+y$:

$$\begin{cases}3xy+x=10 \ 3xy+y=12 \quad \text{или} \quad 3xy+y=-12\end{cases}$$

Если $3xy+y=12$, то $y(3x+1)=12$. Решая это уравнение относительно $y$, получаем $y=\frac{12}{3x+1}$.

Подставляя это значение $y$ в первое уравнение, получаем:

$$3x \cdot \frac{12}{3x+1}+x=10$$

$$\Rightarrow 36x+10x+1=30x+10$$

$$\Rightarrow 6x=-9$$

$$\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$$

Тогда $y=\frac{12}{3x+1}=-\frac{8}{3}$.

Если $3xy+y=-12$, то $y(3x+1)=-12$. Решая это уравнение относительно $y$, получаем $y=\frac{-12}{3x+1}$.

Подставляя это значение $y$ в первое уравнение, получаем:

$$3x \cdot \frac{-12}{3x+1}+x=10$$

$$\Rightarrow -36x+10x+1=30x+10$$

$$\Rightarrow -36x+10x-30x=9$$

$$\Rightarrow -56x=9$$

$$\Rightarrow x=-\frac{9}{56}$$

Тогда $y=\frac{-12}{3x+1}=\frac{24}{17}$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $\left(-\frac{3}{2},-\frac{8}{3}\right)$ и $\left(-\frac{9}{56},\frac{24}{17}\right)$.