Ответ:

Трапеция АВCD - равнобокая,  АВ=CD .  

Основания АD=12 cм ,  BC=4 см .

АС - биссектриса   ⇒   ∠АСВ=∠АСD .

Так как  ВС || AD  и  АС - секущая , то ∠АСВ=∠САD  как внутренние накрест лежащие углы .

Но по условию  ∠АСВ=∠АСD  , значит  ∠САD=∠ACD  и

ΔACD - равнобедренный ,  AD=CD=12 см .  Тогда и АВ=CD=12 cм .

Опустим перпендикуляры из вершин В и С на АD ,  ВК⊥AD , CH⊥AD .

Тогда ВСНК - прямоугольник и ВС=КН=4 см .

ΔАВК = ΔCDH  по гипотенузе (CD=AB) и острому углу (∠А=∠D  как углы при основании равнобедренной трапеции)  ⇒   АК=DH .

АК=DH=(AD-КН):2=(12-4):2=4 (см)

По теореме Пифагора найдём высоту трапеции из ΔCDH :

CD²=CH²+DH²    ⇒    CH²=CD²-DH²=12²-4²144-16=128  ,  

CH=√128=8√2 (см)

Площадь трапеции равна  

S = (AD+BC):2*CH = (12+4):2*8√2 = 64√2  (см²)