1.    Довжина сторони ВС: ВС = √[(xC-xB)^2 + (yC-yB)^2] = √[(4-0)^2 + (-3-4)^2] ≈ 7.81

Довжина сторони АС:

AC = √[(xC-xA)^2 + (yC-yA)^2] = √[(4+4)^2 + (-3-2)^2] ≈ 9.22

2.   Рівняння сторін АВ і ВС та їх кутові коефіцієнти: Строна АВ: Загальне рівняння прямої: y = kx + b Кутовий коефіцієнт: k = (yB-yA)/(xB-xA) = (4-2)/(0-(-4)) = 1/2 Знаходимо значення b, підставивши координати точки A: 2 = 1/2*(-4) + b => b = 4 Отже, рівняння сторони АВ: y = 1/2*x + 4

Сторона ВС:

Загальне рівняння прямої: y = kx + b

Кутовий коефіцієнт: k = (yC-yB)/(xC-xB) = (-3-4)/(4-0) = -7/4

Знаходимо значення b, підставивши координати точки B: 4 = -7/40 + b => b = 4

Отже, рівняння сторони ВС: y = -7/4x + 4

3.   Кут А:

Використовуючи теорему косинусів, знаходимо кут А:

cosA = (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2 * BC * AC)

cosA = ((7.81)^2 + (9.22)^2 - (4)^2)/(2 * 7.81 * 9.22)

cosA ≈ 0.269

A ≈ acos(0.269) ≈ 74.3 градуси

4.    Рівняння висоти ВD:

Знайдемо координати точок D і E:

D(xD,yD) є серединою сторони BC, тому xD = (xB+xC)/2 = 2 і yD = (yB+yC)/2 = 1/2

E(xE,yE) лежить на прямій AD і є серединою сторони АВ, тому xE = (xA+xB)/2 = -2 і yE = (yA+yB)/2 = 3

Кутовий коефіцієнт прямої AD: k = (yD-yA)/(xD-xA) = (1/2-2)/(2-(-4)) = -1/2

Загальне рівняння прямої AD: y = -1/2x + b

Підставляємо координати точки A, щоб знайти b: 2 = -1/2(-4) + b => b = 4

Отже, рівняння прямої AD: y = -1/2*x + 4

Висота ВD проходить через точку D і перпендикулярна до сторони АВ, тому кутовий коефіцієнт висоти ВD:

k_(VD) = -1/k_(AB) = -1/(1/2) = -2

Загальне рівняння прямої VD: y = -2x + b

Підставляємо координати точки D, щоб знайти b: 1/2 = -22 + b => b = 9/2

Отже, рівняння висоти ВD: y = -2*x + 9/2

5.    Площа трикутника ABC:

Використовуючи формулу Герона, знаходимо півпериметр трикутника:

s = (AB + BC + AC)/2 = (4 + √(20) + √(170))/2

Площа трикутника ABC: S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC)) = √((4 + √(20) + √(170))/2 * (4 + √(20) + √(170))/2 * (√(20))/2 * (√(6))/2 * (√(10)+√(34))/2) ≈ 8.56

6.    Кутівна точка Б:

Кутівна точка Б є точкою перетину бісектрис кутів А і С. Знайдемо координати цієї точки.

Знайдемо координати точки F, яка є серединою сторони АС:

F(xF,yF) є серединою сторони АС, тому xF = (xA+xC)/2 = 4 і yF = (yA+yC)/2 = -1/2

Кутовий коефіцієнт бісектриси кута А:

k_(ABisector) = AC/AB = (√(170)+√(20))/(4)

Загальне рівняння прямої, яка є бісектрисою кута А:

y = k_(ABisector)*x + b

Підставляємо координати точки F, щоб знайти b:

-1/2 = (√(170)+√(20))/(4)*4 + b => b = -1/2 - (√(170)+√(20))/4

Отже, рівняння прямої, яка є бісектрисою кута А: y = (√(170)+√(20))/4*x - 1/2 - (√(170)+√(20))/4

Аналогічним чином знаходимо кутовий коефіцієнт бісектриси кута С та її загальне рівняння:

k_(CBisector) = AC/BC = (√(170)+√(20))/7.81

y = k_(CBisector)x + b

Підставляємо координати точки B, щоб знайти b:

4 = (√(170)+√(20))/7.810 + b => b = 4

Отже, рівняння прямої, яка є бісектрисою кута С: y = (√(170)+√(20))/7.81*x + 4

Знайдемо точку перетину прямих, які є бісектрисами кутів А і С:

(√(170)+√(20))/4x - 1/2 - (√(170)+√(20))/4 = (√(170)+√(20))/7.81x + 4

Розв'язуючи це рівняння, знаходимо координати кутовної точки Б:

x = 3.56, y = 1.67

Отже, координати кутовної точки Б: (3.56, 1.67)