[tex]\lim_{n \to \infty} {\frac{1+2+...+n}{n^2} }[/tex].

рассмотрим числитель [tex]1+2+...+n[/tex].

имеем арифметическую прогрессию, поскольку каждый последующий член больше предыдущего на одно и то же число (1).

в этой прогрессии [tex]n_0=1, d=1[/tex]

по формуле суммы членов арифметической прогрессии получается, что:

[tex]1+2+...+n=\frac{2n_0 +d(n-1)}{2}n= > \frac{2+n-1}{2}n=\frac{n+1}{2}n[/tex].

подставим данное выражение в исходное:

[tex]\lim_{n \to \infty} {\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2} }[/tex];

упростим [tex]\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2}[/tex]:

[tex]\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2}=\frac{n+1}{2}n*\frac{1}{n^2} =\frac{n+1}{2n}[/tex];

Таким образом, [tex]\lim_{n \to \infty} {\frac{\frac{n+1}{2}n }{n^2} } = \lim_{n \to \infty} {\frac{n+1}{2n}}[/tex].

[tex]\lim_{n \to \infty} {\frac{n+1}{2n}}= \lim_{n \to \infty} {\frac{n(1+\frac{1}{n} )}{2n}}=\lim_{n \to \infty} {\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1+\frac{1}{\infty} }{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}[/tex].