Ответ:
Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими свойствами:
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2)
Также заметим, что:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
Тогда выражение можно переписать следующим образом:
(cos(α)cos(pi/4) + sin(α)sin(pi/4)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
(cos(α)/sqrt(2) + sin(α)/sqrt(2)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
Далее заметим, что:
1 + 2sin(α)cos(α) = 1 + sin(2α)
sin(2α) = sin(α + α) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) = 2sin(α)cos(α)
Тогда выражение можно упростить:
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + sin(2α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 - cos(2α))
Таким образом, мы получили упрощенное выражение для исходного выражения.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими свойствами:
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2)
Также заметим, что:
sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
Тогда выражение можно переписать следующим образом:
(cos(α)cos(pi/4) + sin(α)sin(pi/4)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
(cos(α)/sqrt(2) + sin(α)/sqrt(2)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
Далее заметим, что:
1 + 2sin(α)cos(α) = 1 + sin(2α)
sin(2α) = sin(α + α) = sin(α)cos(α) + cos(α)sin(α) = 2sin(α)cos(α)
Тогда выражение можно упростить:
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + sin(2α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + 2sin(α)cos(α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 + sin(2α))
(1/sqrt(2))(cos(α) + sin(α)) / sqrt(1 - cos(2α))
Таким образом, мы получили упрощенное выражение для исходного выражения.