Точка M - середина стороны BC треугольника ABC. Точка K - основание перпендикуляра, опущенного из точки M на отрезок AC. На стороне AC выбрана такая точка L, что KL = AC/4. Докажите, что AB + BC ≥ 4ML.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Пусть KL=x
В тр-ке MLK рассмотрим 3 случая: 1)∠MLK=0°, 2)∠MLK=45°, 3)∠MLK=90°
1) ML=KL/cos0°=x, ML=KL/sin0°=0, значит ВС=0
АС+ВС=4х+0=4х, 4ML=4x
AC+BC=4ML
2) ML=KL/cos45=x√2, ML=KL/sin45=x√2, ML=MC, BC=2MC=2x√2
AC+BC=4x+2x√2=4x(1+√2),
4х(1+√2)>4x, значит
AC+BC>4ML
3) ML=KL/cos90=x/0 - такое невозможно.
Вывод: наибольшее отношение 4ML:(AB+BC) [1:1] имеет при величине угла MLK=0°. При увеличении угла MLK данное отношение уменьшается, следовательно:
4ML≤AB+BC