Докажите, что если а-целое число, то и а⁴/24+а³/4+11а²/24+а/4-есть целое число. . Created by pem228. algebra-ru

4-есть целое число. ...

pem228 @pem228

August 2022 1 23 Report

Докажите, что если а-целое число, то и
а⁴/24+а³/4+11а²/24+а/4-есть целое число.

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{a^3}{4} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{a}{4},\ a\in\mathbb{Z}$

Преобразуем выражение:

$\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{a^3}{4} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{a}{4} =\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{6a^3}{24} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{6a}{24} =\dfrac{a^4+6a^3+11a^2+6a}{24}$

Рассмотрим и преобразуем числитель:

$a^4+6a^3+11a^2+6a=a(a^3+6a^2+11a+6)=$

$=a(a^3+a^2+5a^2+5a+6a+6)=a(a^2(a+1)+5a(a+1)+6(a+1))=$

$=a(a+1)(a^2+5a+6)=a(a+1)(a^2+2a+3a+6)=$

$=a(a+1)(a(a+2)+3(a+2))=a(a+1)(a+2)(a+3)$

Получилось произведение четырех подряд идущих целых чисел.

Из четырех подряд идущих целых чисел гарантированно найдется хотя бы одно, кратное 3. Также, из четырех подряд идущих целых чисел найдется два четных числа, одно из которых не только четное, но и кратно 4.

Таким образом, в произведении гарантированно есть множители 3, 2 и 4. Тогда, такое произведение делится на $3\cdot2\cdot4=24$ .