Verified answer

Ответ:

Объяснение:

Дано: KABC - пирамида, BC = a, ∠ACB = α, ∠(KAC, ABC) = ∠(KBC,ABC) = =∠(KAB,ABC) = β, OK ⊥ ABC, AB = BC

Найти:

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔABC. Из точки B проведем высоту на основание AC в точку H (AC - основание, так как по условию AB = BC). По теореме высота равнобедренного треугольника проведённая к основанию является биссектрисой и медианой, тогда так как по построению BH ⊥ AC, то AH = HC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔBHC:

.

Так как AH = HC и по основному свойству отрезка:

.

По формуле площади треугольника:

.

Так как по условию все двугранные пирамиды при рёбрах основания равны β, то по теореме:

.

Из точки K проведем перпендикуляр к стороне AB в точку T, то есть

KT ⊥ AB. Соединим точки O и T. Так как по условию OK ⊥ ABC, то по определению прямой перпендикулярной к плоскости KO ⊥ TO, так как TO ⊂ ABC.

По теореме обратной к теореме о трех перпендикулярах OT ⊥ AB, так как  KO ⊥ TO; KT ⊥ AB - по построению и отрезок TO - проекция отрезка KT на плоскость ABC (ΔKOT - прямоугольный, так

как KO ⊥ TO).

Так как OT ⊥ AB и KT ⊥ AB, то угол ∠KTO - линейный угол двугранного угла, то есть ∠(KAB,ABC) = ∠KTO = β.

Так как OT ⊥ AB и по теореме если двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности, то есть точка O - центр вписанной окружности в треугольнике ΔABC, следовательно отрезок OT - радиус вписанной окружности.

Пусть p - полупериметр треугольника ΔABC, тогда по определению полупериметра:

.

По формуле площади треугольника:

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKOT:

.