Ответ:

4 целых решения

Пошаговое объяснение:

[tex]log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq -2[/tex]

Находим сначала область определения функции:

[tex]x^2+6x > 0\\x(x+6) > 0[/tex]

      +             -            +

\\\\\\\\\\\\\\(-6)_____(0)\\\\\\\\

[tex]x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)[/tex]

Продолжаем решение:

[tex]log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq -2\\\\ log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})^{-2}\\\\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}} 4^2\\\\log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)\geq log_{\frac{1}{4}} 16\\\\0 < \frac{1}{4} < 1\\\\x^2+6x\leq 16\\\\x^2+6x-16\leq 0[/tex]

По теореме Виета легко найти корни:

[tex]\left \{ {{x_1x_2=-16} \atop {x_1+x_2=-6}} \right.= > x_1=-8;\; x_2=2[/tex]

[tex]x^2+6x-16=(x+8)(x-2)[/tex]

[tex](x+8)(x-2)\leq 0[/tex]

  +                 -                  +

_____[-8] \\\\\\\\\\\\\\\\\ [2]_____

С учетом области определения, запишем решение неравенства:

[tex]x\in[-8;-6)\cup(0;2][/tex]

Выпишем только целые решения неравенства:

x∈{-8; -7; 1; 2} - всего их 4