Ответ:

а) да

б) да

Объяснение:

a) Ну полагаю, что каркас куба, а не дуба ))

Да, возможно. Возьмем 12 пар длин стержней, которые в сумме дают одинаковую длину.

Например такие пары:

1+24, 2 + 23, 3+22,....., 12 + 13.

То есть можно получить 12 ребер длины 25 и составить из них куб

б) Тоже возможно.

Тут уже привести пример будет посложнее.

Возьмем для первого измерения a параллелепипеда cледующие стержни для каждого из 4 ребер:

a1 = 199

a2 = 1+198

a3 = 2+197

a4 = 3+196

То есть длина измерения a = 189

Возьмем для второго измерения b параллелепипеда cледующие стержни для каждого из 4 ребер:

b1 = 4+11

b2 = 5+10

b3 = 6+9

b4 = 8+7

То есть длина измерения b = 15.

Остались стержни с длинами:

12,13,14,15,...,195.

Общее количество оставшихся стержней равно: 195 - 12 + 1 = 184

Заметим, что 184 = 8*23 - кратно 8

Такое количество кратное 8 и так, чтобы оставшиеся числа в порядке возрастания образовывали арифметическую прогрессию было подобрано не случайно.

По принципу крайних сумм в арифметических прогрессиях: если сложить k число с начала и k с конца, а также сложить m число с начала и m число с конца в числовом ряду 12,13,14,15,...,195, то мы получим одинаковые результаты.

Но тогда логически ясно, что это можно обобщить до следующего утверждения: если сложить k-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с начала и k-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с конца, а также сложить m-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с начала и m-ю подпоследовательность из r последовательных натуральных чисел с конца, то получим одинаковые результаты.

Чтобы не быть голословным, покажу это на простом примере:

12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23

Возьмем такие подпоследовательности по 3 числа и покажем равенства сумм:

(12+13+14) + (23+22+21) =  (15+16+17) + ( 20+19+18) = 35 * 3 = 105

Применим этот принцип к данному примеру.

Разобьем 184 числа из нашей последовательности на 8 подпоследовательностей из 23 последовательных натуральных чисел.

Тогда, складывая крайние подпоследовательности по описанному выше принципу, получим 4 одинаковые суммы. Полученная сумма и будет значением длины 3-его измерения.

Длина этого измерения равна:

c = (12+13+14+...+34) + (195+194 + 193+...+173) = 207 * 23 = 4761