1. (див. рисунок)

Площа трикутника через 2 сторони і кут між ними має вигляд:

S = 0.5 a * b * sin(A).

Пдіставимо наші дані у формулу і отримаємо:

S = 0,5 * CD * DE * sin(D);

6 = 0.5 * 3[tex]\sqrt{2\\}[/tex] * 4 * sin(D);

6 = 6[tex]\sqrt{2\\}[/tex] * sin(D);

sin(D) = 6 / 6[tex]\sqrt{2\\}[/tex] = 1 / [tex]\sqrt{2\\}[/tex] = [tex]\sqrt{2\\}[/tex] / 2;

Кут D = 45°.

За теоремою косинусів:

CE^2 = DC^2 + DE^2 - 2 * DC * DE * cos(D);

CE^2 = 18 + 16 - 24[tex]\sqrt{2\\}[/tex] * [tex]\sqrt{2\\}[/tex] / 2;

CE^2 = 34 - 24;

CE^2 = 10;

CE = [tex]\sqrt{10}[/tex].

Формула радіуса кола через 3 сторони має вигляд:

R = a*b*c / 4*S.

Пдіставимо наші дані у формулу і отримаємо:

R = a*b*c / 4*S = 3[tex]\sqrt{2}[/tex] * 4 * [tex]\sqrt{10}[/tex] / 4 * 6 = 12[tex]\sqrt{20}[/tex] / 24 = [tex]\sqrt{20}[/tex] / 2 = 2[tex]\sqrt{5}[/tex] / 2 = [tex]\sqrt{5}[/tex]

Відповідь: кут D = 45°, CE = [tex]\sqrt{10}[/tex], R = [tex]\sqrt{5}[/tex].

3. Рівняння кола з центром у точці (a, b) і радіусом r можна записати у такій формі:

(x - a)² + (y - b)² = r².

У нашому випадку, центр кола має координати (-4, 3), а коло проходить через точку (-1, -1). Щоб знайти радіус, можна використати відстань між центром кола і точкою на колі. Використовуючи формулу відстані між двома точками:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²],

де (x₁, y₁) - координати першої точки, (x₂, y₂) - координати другої точки, отримаємо:

r = √[(-1 - (-4))² + (-1 - 3)²] = √[3² + (-4)²] = √[9 + 16] = √25 = 5.

Таким чином, радіус кола дорівнює 5.

Підставимо відомі значення в рівняння кола:

(x - (-4))² + (y - 3)² = 5²,

(x + 4)² + (y - 3)² = 25.

Отже, рівняння кола з центром у точці (-4, 3), яке проходить через точку (-1, -1), має вигляд:

Відповідь: (x + 4)² + (y - 3)² = 25.