СРОЧНООООО: Основа прямого паралелепіпеда -ромб з периметром 40 см. Одна з діагоналей ромба дорівнює 12 см. Знайдіть об'єм параллелепіпеда якщо його більша діагональ дорівнює 20 см. (Повна умова та розв'язок)
Друга діагональ ромба: d' (половина більшої діагоналі паралелепіпеда)
Висота паралелепіпеда: h (відстань між паралельними площинами паралелепіпеда)
За теоремою Піфагора для ромба можемо знайти довжину бічного ребра паралелепіпеда:
b = sqrt((d/2)^2 - (P/8)^2) = sqrt(6^2 - 5^2) = sqrt(11) см
За визначенням об'єму паралелепіпеда:
V = S * h
де S - площа основи паралелепіпеда. Оскільки основа паралелепіпеда є ромбом, то її площа дорівнює:
S = (d * P) / 2 = (12 * 40) / 2 = 240 см^2
Залишилося знайти висоту паралелепіпеда h. Для цього можемо скористатися однією з формул для обчислення висоти призми (в даному випадку - паралелепіпеда):
h = (2 * V) / (b * d')
Для знаходження діагоналі d' також можна скористатися теоремою Піфагора для ромба:
d'^2 = (d/2)^2 + (b/2)^2
Отримуємо систему з двох рівнянь:
d'^2 = (d/2)^2 + (b/2)^2
h = (2 * V) / (b * d')
Підставляємо вираз для S та b та вирішуємо систему рівнянь:
d'^2 = 36 + 11/4 ≈ 36.75
h = (2 * V) / (sqrt(11) * d')
Друге рівняння можна записати у вигляді:
d' = (2 * V) / (sqrt(11) * h)
Підставляємо значення d' з першого рівняння у друге
Answers & Comments
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Периметр ромба: P = 40 см
Одна діагональ ромба: d = 12 см
Друга діагональ ромба: d' (половина більшої діагоналі паралелепіпеда)
Висота паралелепіпеда: h (відстань між паралельними площинами паралелепіпеда)
За теоремою Піфагора для ромба можемо знайти довжину бічного ребра паралелепіпеда:
b = sqrt((d/2)^2 - (P/8)^2) = sqrt(6^2 - 5^2) = sqrt(11) см
За визначенням об'єму паралелепіпеда:
V = S * h
де S - площа основи паралелепіпеда. Оскільки основа паралелепіпеда є ромбом, то її площа дорівнює:
S = (d * P) / 2 = (12 * 40) / 2 = 240 см^2
Залишилося знайти висоту паралелепіпеда h. Для цього можемо скористатися однією з формул для обчислення висоти призми (в даному випадку - паралелепіпеда):
h = (2 * V) / (b * d')
Для знаходження діагоналі d' також можна скористатися теоремою Піфагора для ромба:
d'^2 = (d/2)^2 + (b/2)^2
Отримуємо систему з двох рівнянь:
d'^2 = (d/2)^2 + (b/2)^2
h = (2 * V) / (b * d')
Підставляємо вираз для S та b та вирішуємо систему рівнянь:
d'^2 = 36 + 11/4 ≈ 36.75
h = (2 * V) / (sqrt(11) * d')
Друге рівняння можна записати у вигляді:
d' = (2 * V) / (sqrt(11) * h)
Підставляємо значення d' з першого рівняння у друге