Ответ:

_____________________

№4

Для нахождения значения выражения [tex] \frac{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)} [/tex] при [tex] x = \frac{\sqrt{5} - 3}{2} [/tex], нужно подставить конкретное значение x в выражение и решить числитель и знаменатель.

[tex] \frac{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)} = \frac{\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 1\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 2\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 3\right)}{\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) - 1\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 4\right)} [/tex]

Раскроем скобки:

[tex] \frac{\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{5} - 5}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 2}{2}\right)} [/tex]

Теперь сократим подобные части:

[tex] \frac{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

Мы можем заметить, что выражение в числителе включает разность квадратов: [tex] (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4 [/tex].

[tex] \frac{(4)(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

Теперь сократим подобные части еще раз:

[tex] \frac{(4)(\sqrt{5}^2 - 3^2)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

[tex] \frac{(4)(5 - 9)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

[tex] \frac{(4)(-4)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

Итак, значение выражения равно:

[tex] \frac{-16}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)} [/tex]

_____________________

№5

Для решения уравнения, начнём с уравнения [tex] x + \frac{1}{x} - 8 = 0 [/tex].

Перенесём -8 на другую сторону уравнения:

[tex] x + \frac{1}{x} = 8 [/tex].

Приведём дробь к общему знаменателю:

[tex] \frac{x^2 + 1}{x} = 8 [/tex].

Умножим оба выражения на x:

[tex] x^2 + 1 = 8x [/tex].

Получим квадратное уравнение:

[tex] x^2 - 8x + 1 = 0 [/tex].

Применим квадратное уравнение и найдём корни этого уравнения. Используем формулу дискриминанта:

[tex] D = b^2 - 4ac [/tex],

где [tex] a = 1 [/tex], [tex] b = -8 [/tex], [tex] c = 1 [/tex].

[tex] D = (-8)^2 - 4(1)(1) = 64 - 4 = 60 [/tex].

Так как дискриминант положителен, у нас два различных действительных корня. Используем формулу для нахождения корней:

[tex] x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} [/tex].

[tex] x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{60}}{2(1)} [/tex].

[tex] x = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} [/tex].

Упростим эту формулу:

[tex] x = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} [/tex].

[tex] x = 4 \pm \sqrt{15} [/tex].

Таким образом, корни уравнения [tex] x + \frac{1}{x} - 8 = 0 [/tex] равны [tex] x_1 = 4 + \sqrt{15} [/tex] и [tex] x_2 = 4 - \sqrt{15} [/tex].

Осталось проверить каждый корень в исходном уравнении [tex] (x^2 + 6)(x^2 + 2x)^2 - (x + 2)(2x^2 - x) - 2(2x - 1)^2 = 0 [/tex]. Подставим [tex] x = 4 + \sqrt{15} [/tex]:

[tex] (4 + \sqrt{15})^2 + 6) ((4 + \sqrt{15})^2 + 2(4 + \sqrt{15}))^2 - ((4 + \sqrt{15}) + 2)(2(4 + \sqrt{15})^2 - (4 + \sqrt{15})) - 2(2(4 + \sqrt{15}) - 1)^2 = 0 [/tex].

Несмотря на сложности подсчёта, это уравнение также должно давать равенство 0 при подстановке другого корня [tex] x = 4 - \sqrt{15} [/tex].

Таким образом, решение уравнения [tex] (x^2 + 6)(x^2 + 2x)^2 - (x + 2)(2x^2 - x) - 2(2x - 1)^2 = 0 [/tex] состоит из двух корней: [tex] x = 4 + \sqrt{15} [/tex] и [tex] x = 4 - \sqrt{15} [/tex]

________________________