Ответ:

1)

Первообразная:

[tex]\boldsymbol{\boxed{F(x) =- \frac{2}{3(3x - 1)} +C}}[/tex]

2)

Первообразная

[tex]\boldsymbol{\boxed{F(x) =\frac{\sqrt[3]{(3x - 1)^{2}} }{2} -6 \ \text{tg} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)+C}}[/tex]

3)

[tex]\boldsymbol{\boxed{\int {\frac{3 \ dx}{\cos^{2}(3x - 1)} } =\text{tg}(3x - 1)+C}}[/tex]

4)

[tex]\boldsymbol{\boxed{ \int\limits^{7}_{2} {\frac{4}{\sqrt{x+2} } } \, dx =8}}[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}[/tex]

[tex]\boxed{\int {\frac{dx}{\cos^{2}x} } =\text{tg}\ x+C}[/tex]

По свойствам интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}[/tex]

Объяснение:

Первообразная - такая функция, что её производная равна заданной функции, то есть [tex]f(x) =F'(x)[/tex]. Для того, чтобы найти функцию [tex]F(x)[/tex] проинтегрируем функцию [tex]f(x)[/tex].

[tex]\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx[/tex].

1) [tex]f(x) = \dfrac{2}{(3x - 1)^{2}}[/tex]

[tex]\displaystyle F(x) = \int {\frac{2}{(3x - 1)^{2}} } \, dx = \frac{2}{3} \int {\frac{d(3x - 1)}{(3x - 1)^{2}} } =- \frac{2}{3(3x - 1)} +C[/tex]

2)

[tex]\displaystyle f(x) =\frac{1}{\sqrt[3]{3x-1} } - \frac{3}{\cos^{2} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)}[/tex]

[tex]\displaystyle F(x) = \int {\Bigg (\frac{1}{\sqrt[3]{3x-1} } - \frac{3}{\cos^{2} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)} \Bigg) } \, dx = \int {\frac{1}{\sqrt[3]{3x-1} }} \, dx - \int {\frac{3}{\cos^{2} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)}} \, dx =[/tex][tex]\displaystyle = \frac{1}{3} \int {(3x - 1)^{-\frac{1}{3} }} \, d(3x - 1) - 2 \cdot 3\int {\frac{d\bigg( \dfrac{x}{2}-3\bigg)}{\cos^{2} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)}} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{-\frac{1}{3}+1 }}{-\dfrac{1}{3}+1} +C_{1} -6 \ \text{tg} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)+C_{2} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{-1+3}{3} }}{\dfrac{-1+3}{3}} -6 \ \text{tg} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)+C =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^{\frac{2}{3} }}{\dfrac{2}{3}} -6 \ \text{tg} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)+C =\frac{\sqrt[3]{(3x - 1)^{2}} }{2} -6 \ \text{tg} \bigg(\dfrac{x}{2}-3 \bigg)+C[/tex]

3)

[tex]\displaystyle \int {\frac{3 \ dx}{\cos^{2}(3x - 1)} } = \int {\frac{ d(3x-1)}{\cos^{2}(3x - 1)} } = \text{tg}(3x - 1)+C[/tex]

4)

[tex]\displaystyle \int\limits^{7}_{2} {\frac{4}{\sqrt{x+2} } } \, dx = 4\int\limits^{7}_{2} {\frac{d(x+2)}{\sqrt{x+2} } } = 8\sqrt{x+2} \bigg |_{2}^{7} = 8(\sqrt{7+2} - \sqrt{2+2}) =[/tex]

[tex]= 8(\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 8(3 - 2) = 8 \cdot 1=8[/tex]