40 БАЛЛОВ
Для положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.
Для положительных a и b выплняется равенство a+b=a²+b²=a³+b³. Докажите что a=b=1.
More Questions From This User See All
Copyright © 2025 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
A^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) по условию равно a + b.a + b не равно 0, значит, a^2 - ab + b^2 = 1 или a^2 - ab + b^2 - 1 = 0
Теперь вспоминаем, что a^2 + b^2 = a + b:
a + b - ab - 1 = 0
(a - ab) + (b - 1) = 0
(a - 1)(b - 1) = 0
Для того, чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из сомножителей должен быть равен нулю, т.е. хотя бы одно из чисел a, b, равно 1.
Без умаления общности можно считать, что a = 1 (система симметрична относительно замены a на b и наоборот). Докажем, что b = 1.
Подставляем a = 1 в равенство a^2 + b^2 = a + b:
b^2 + 1 = b + 1
b^2 - b = 0
b(b - 1) = 0
b > 0, значит, b = 1, как и требовалось.