Verified answer

[tex]q(x+1)^2+6=3x^2[/tex]

[tex]q(x^2+2x+1)+6-3x^2=0[/tex]

[tex]qx^2+2qx+q+6-3x^2=0[/tex]

[tex](q-3)x^2+2qx+(q+6)=0[/tex]

1. Если [tex]q-3=0[/tex], то есть [tex]q=3[/tex], то уравнение не квадратное. В этом случае получим:

[tex]2\cdot3x+3+6=0[/tex]

[tex]6x=-9[/tex]

[tex]x=-1.5[/tex]

В этом случае уравнение имеет корень.

2. Если [tex]q-3\neq 0[/tex], то есть [tex]q\neq 3[/tex], то уравнение квадратное. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень при неотрицательном дискриминанте:

[tex]D_1=q^2-(q-3)(q+6)=q^2-q^2-6q+3q+18=18-3q[/tex]

[tex]18-3q\geqslant 0[/tex]

[tex]3q\leqslant 18[/tex]

[tex]q\leqslant 6[/tex]

Учитывая, что значение [tex]q=3[/tex] также удовлетворяет условию задачи, запишем окончательный ответ:

[tex]q\in(-\infty;\ 6][/tex]

Ответ: при [tex]q\in(-\infty;\ 6][/tex]