Здесь обычный подход к решению не годится, ибо это не простейшее уравнение. Попробуем разобраться со множеством значений. -1≤cos4x≤1 -область значений косинуса, -2≤2cos4x≤2 - умножили на 2, 7-2≤7+2cos4x≤7+2 - прибавили 7, 5≤7+2cos4x≤9 log₅5≤log₅(7+2cos4x)≤log₅9 нашли логарифмы от всех частей неравенства. Получили, что log₅(7+2cos4x)≥1. Теперь правую часть рассмотрим. sin²(x+π/4)∈[0;1], т.е. sin²(x+π/4)≤1. Значит равенство будет верным только в том случае, если обе части равны 1. Решаем систему из этих уравнений. log₅(7+2cos4x)=1; 7+2cos4x = 5;2cos4x =-2; cos4x=-1; 4x = π+2πn, n∈Z; x=π/4+ πn/2, n∈Z. sin²(x+π/4) =1; sin(x+π/4) =+-1 x+π/4=π/2 +πk.k∈Z; x=π/4+πk,k∈Z. Мы видим, что корни уравнений совпадают, если п - четное число. Ответ х =π/4 +πp, p∈Z.
Answers & Comments
Verified answer
Здесь обычный подход к решению не годится, ибо это не простейшее уравнение. Попробуем разобраться со множеством значений.-1≤cos4x≤1 -область значений косинуса,
-2≤2cos4x≤2 - умножили на 2,
7-2≤7+2cos4x≤7+2 - прибавили 7,
5≤7+2cos4x≤9
log₅5≤log₅(7+2cos4x)≤log₅9 нашли логарифмы от всех частей неравенства. Получили, что log₅(7+2cos4x)≥1.
Теперь правую часть рассмотрим.
sin²(x+π/4)∈[0;1], т.е. sin²(x+π/4)≤1.
Значит равенство будет верным только в том случае, если обе части равны 1.
Решаем систему из этих уравнений.
log₅(7+2cos4x)=1; 7+2cos4x = 5;2cos4x =-2; cos4x=-1; 4x = π+2πn, n∈Z;
x=π/4+ πn/2, n∈Z.
sin²(x+π/4) =1; sin(x+π/4) =+-1
x+π/4=π/2 +πk.k∈Z; x=π/4+πk,k∈Z. Мы видим, что корни уравнений совпадают, если п - четное число.
Ответ х =π/4 +πp, p∈Z.