Ответ:

Для розв'язання цієї нерівності знайдемо всі значення X, для яких виконується нерівність:

cos(X/2) < √2/2

За означенням косинуса знаємо, що cos(X/2) = ±√((1+cosX)/2). Підставляємо це у нерівність:

±√((1+cosX)/2) < √2/2

Отримуємо дві нерівності:

√(1+cosX) < √2

або

√(1+cosX) > -√2

Розв'язуємо кожну окремо:

√(1+cosX) < √2

1+cosX < 2

cosX < 1

або

√(1+cosX) > -√2

1+cosX > -2

cosX > -3/2

Отримали дві нерівності: cosX < 1 і cosX > -3/2. Щоб їх об'єднати, звертаємо увагу на те, що косинус є періодичною функцією з періодом 2π. Тому можна обмежити розв'язок на проміжку [0, 2π):

0 < X < 2π і cosX > -3/2

Отже, розв'язок нерівності: 0 < X < 2π і -3/2 < cosX < 1.

Для розв'язання цієї нерівності знаходимо всі значення X, для яких виконується нерівність:

tg(x+n/4) ≤ 1

Перетворимо нерівність, використовуючи властивості тангенсу:

tan(x+n/4) ≤ 1

x+n/4 ≤ arctan(1) + kπ, де k - ціле число

x ≤ π/4 - n/4 + kπ

Отже, розв'язок нерівності: x ≤ π/4 - n/4 + kπ, де k - ціле число.