Ответ:

[tex]P_4(x) = (x-1)(x+6)(x^2 +x + 2)[/tex]

Пошаговое объяснение:

*Если сумма коэффициентов уравнения равна нулю , то один из его корней равен 1

[tex]P_4(x) = x^4 + 6x^3 +x^2 +4x -12[/tex]

[tex]1 + 6 + 1 + 4 - 12 = 12 - 12 = 0[/tex]

Заметим что сумма коэффициентов данного многочлена равна нулю

Для нахождения остальных корней выписываем коэффициенты данного многочлена , и  применим  схему  Горнера

[tex]\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold 1 & \stackrel{\pmb{x^4}}{1} & \stackrel{\pmb{x^3}}{6} & \stackrel{\pmb{x^2}}{1} & \stackrel{\pmb{x}}{4} & \stackrel{\pmb 1}{-12} \cline{7 - 12} & & 1&7& 8 & 12 \cline {7-12} & & \bf 7 &\bf 8&\bf 12&0&\cline {7-12} \end{array}[/tex]

[tex]P_4(x) = x^4 + 6x^3 +x^2 +4x -12 = (x-1)(x^3 + 7x^2 + 8x + 12)[/tex]

При переборе вариантов  подходит  (x+6)

Снова применяем схему Горнера

[tex]\large \begin{array} {c|c|c|c|c|c|} \bold {-6} & \stackrel{\pmb{x^3}}{1} & \stackrel{\pmb{x^2}}{7} & \stackrel{\pmb{x}}{8} & \stackrel{\pmb{1}}{12} & \cline{7 - 12} & & -6&-6&-12& \cline {7-12} & & \bf 1&\bf 2&\bf 0&\cline {7-12} \end{array}[/tex]

Выйдет   что

[tex]x^3 + 7x^2 + 8x + 12 = (x+6)(x^2 +x + 2)[/tex]

[tex]x^2 + x + 2= 0 \\\\ D = 1 - 8 = - 7[/tex]

У уравнения    D<0 ,  а значит  действительных корней оно не имеет , и разложение дальше можно не продолжать .

В итоге :

[tex]P_4(x) = x^4 + 6x^3 +x^2 +4x -12 = (x-1)(x+6)(x^2 +x + 2)[/tex]