Ответ:

3.   - 4²¹

4.  257

Объяснение:

3. Упростите выражение :

5²⁰ + 5¹⁹· 4  + 5¹⁸· 4² + ... + 5 · 4¹⁹ + 4²⁰ - 5²¹ = - 4²¹

Довольно просто можно заметить , что выделенная часть  это геометрическая прогрессия со знаменателем  4/5

[tex]\displaystyle 5^{20} + 5^{20}\cdot \frac{4}{5} +5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5}\bigg )^2 \ldots + 5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5} \bigg )^{19} + 5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5} \bigg )^{20}[/tex]

Составим краткое условие

Дано :

[tex]b_1 = 5^{20 }\\\\ b_n = 4^{20} \\\\\underline{ q = \dfrac{4}{5} ~~~~~~~~~~~~ } \\ n=? ~,~ S_n =?[/tex]

С помощью формулы для нахождения  n-го  члена геометрической прогрессии находим  n

*bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

[tex]\displaystyle 5^{20}\cdot \bigg (\dfrac{4}{5}\bigg) ^{n-1} = 4^{20} \\\\\\ \bigg(\dfrac{4}{5} \bigg )^{n-1} = \dfrac{4^{20}}{5^{20}} \\\\\\ \ \bigg(\dfrac{4}{5} \bigg )^{n-1}=\ \bigg(\dfrac{4}{5} \bigg )^{20} \\\\ n -1 = 20 \\\\ n = 21[/tex]

Теперь мы можем перейти к нахождению суммы
[tex]\displaystyle 5^{20} + 5^{20}\cdot \frac{4}{5} +5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5}\bigg )^2 \ldots + 5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5} \bigg )^{19} + 5^{20}\cdot \bigg (\frac{4}{5} \bigg )^{20}[/tex]

Для этого воспользуемся формулой для  нахождения суммы первых  n-ых  членов для геометрической прогрессии :

[tex]\boldsymbol{* ~S_n = \dfrac{b_1 (1-q^n )}{1-q}}[/tex]

[tex]\displaystyle S_{21} =\frac{5^{20}\left (1-\bigg (\dfrac{4}{5}^{} \bigg)^{21}\right )}{1-\dfrac{4}{5} } = 5^{21} \cdot \left (1-\bigg (\dfrac{4}{5}^{} \bigg)^{21}\right )= 5^{21} -4^{21}[/tex]

Соответственно :

5²⁰ + 5¹⁹· 4  + 5¹⁸· 4² + ... + 5 · 4¹⁹ + 4²⁰ - 5²¹   = 5²¹ - 4²¹ -  5²¹ =  - 4²¹

4. Сократите дробь :

[tex]\displaystyle \frac{2^{15} + 2^{14} + \ldots + 2 + 1}{2^7 + 2^6 + \ldots + 2 + 1 }[/tex]

Данный пример намного проще предыдущего , можно  сразу найти сумму

В числителе :
[tex]2^{15} + 2^{14} + \ldots + 2 + 1 = S_{16} = \dfrac{1 (1-2^{16})}{1-2}= 2^{16}-1[/tex]

В знаменателе :

[tex]\displaystyle 2^7 + 2^6 + \ldots + 2 + 1 =\frac{1(1-2^{8})}{1-2} = 2^8 -1[/tex]

Соответственно :

[tex]\displaystyle \frac{2^{15} + 2^{14} + \ldots + 2 + 1}{2^7 + 2^6 + \ldots + 2 + 1 } =\frac{2^{16}-1}{2^8 -1} =\frac{(2^8 +1)(2^8 -1)}{2^8 -1} = \\\\\\ =2^8 + 1 = 256 +1 = 257[/tex]

#SPJ1