Verified answer

Ответ:  [tex]\bf b_1=a_1=2\ ,\ \ b_2=a_2=8\ ,\ \ b_3=a_6=32[/tex]  .

Геометрическая прогрессия:  [tex]\bf b_1\ ,\ b_2\, ,\ b_3[/tex]  .

Арифметическая прогрессия:  [tex]\bf a_1\ ,\ a_2\ ,\ a_3\ ,\ a_4\ ,\ a_5\ ,\ a_6[/tex]  .

Общий член геометрической прогрессии равен  [tex]\bf b_{n}=b_1q^{n-1}[/tex]  .

Общий член арифметич. прогрессии равен   [tex]\bf a_{n}=a_1+d(n-1)[/tex]  .

[tex]\bf a_1=b_1\ ,\ a_2=b_2\ ,\ \ a_6=b_3\ \ \ (*)\\\\b_1+b_2+b_3=42\ \ (**)[/tex]

Запишем  условие  [tex]\bf (**)[/tex]  в виде:   [tex]\bf b_1+b_1q+b_1q^2=42\ \ \Rightarrow[/tex]  

[tex]\bf b_1\cdot (1+q+q^2)=42\ \ (***)[/tex]  

Разность арифметической прогрессии равна

[tex]\bf d=a_2-a_1=b_2-b_1=b_1q-b_1[/tex]

Запишем теперь 6-ой член арифметической прогрессии:

[tex]\bf a_6=a_1+5d=b_1+5d=b_1+5\cdot (b_1q-b_1)=b_1+5b_1q-5b_1=5b_1q-4b_1[/tex]

Но  [tex]\bf a_6=b_3=b_1q^2[/tex]  , поэтому верно равенство

[tex]\bf b_1q^2=5b_1q-4b_1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ b_1(q^2-5q+4)=0\ \ ,\\\\b_1\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ \ q^2-5q+4=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\ \ ,\ \ \sqrt{D}=3\ \ ,\\\\q_1=\dfrac{5-3}{2}=1\ ,\ \ q_2=\dfrac{5+3}{2}=4[/tex]  

Если  q=1 , то геометрическая прогрессия будет стационарной и она будет иметь равные члены, то есть будет иметь вид  [tex]\bf b_1\ ,\ b_2=b_1\ ,\ b_3=b_1[/tex]  . Тогда не получим возрастающей арифметической прогрессии .

Значит  q=4  .

Подставим  q=4  в равенство  [tex]\bf (***)[/tex]  .

[tex]\bf b_1\cdot (1+4+4^2)=42\ \ \Rightarrow \ \ b_1\cdot 21=42\ \ ,\ \ b_1=2[/tex]  

Найдём первые три члена геометрической прогрессии:

[tex]\bf b_1=2\ ,\ \ b_2=b_1q=2\cdot 4=8\ \ ,\ \ b_3=b_1q^2=2\cdot 4^2=32[/tex]  .

Убедимся, что возрастающая арифметическая прогрессия имеет

[tex]\bf a_1=b_1=2\ ,\ \ a_2=b_2=8\ \ ,\ \ a_6=b_3=32[/tex]  .

Разность арифм. прогрессии:  

[tex]\bf d=a_2-a_1=8-2=6\ \ ,\ \ a_6=a_1+5d=2+5\cdot 6=32[/tex]  .

Сама арифметическая прогрессия имеет вид:

[tex]\bf 2\ ,\ 8\ ,\ 14\ ,\ 20\ ,\ 26\ ,\ 32\ .[/tex]