4.25. Дан четырехугольник ABCD: А(-1;7), В(5;5), С(7;-5), D(3;-7). Докажите, что 1) отрезки, соединяющие середины сторон AB и CD, AD и BC, в точке их пересечения делятся пополам; 2) середины сторон данного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решите, используя приведенные координаты, пожалуйста
Решите, используя приведенные координаты, пожалуйста
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Позначимо точки M і N як середини сторін AB та CD відповідно, а точки P і Q як середини сторін AD та BC відповідно. Тоді, координати цих точок є:
M((5-1)/2, (5+7)/2) = (2,6)
N((3+7)/2, (-7-5)/2) = (5,-6)
P((-1+3)/2, (7-7)/2) = (1,0)
Q((7+5)/2, (-5+5)/2) = (6,0)
Знаходимо вектори MP та NQ, які дорівнюють:
MP = P - M = (1,0) - (2,6) = (-1,-6)
NQ = Q - N = (6,0) - (5,-6) = (1,6)
Отже, знаходимо координати точки R, яка є точкою перетину прямих, що проходять через точки MP та NQ:
(-1,-6) * k + (2,6) = (1,6) * t + (5,-6)
-1k + 2 = 1t + 5
-6k + 6 = 6t - 6
Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримуємо: k = 2 та t = 2. Таким чином, точка R має координати (4,-2), що є серединою відрізка PQ, який ділиться пополам відрізком MN.
Позначимо точки E, F, G, та H як середини відрізків AB, BC, CD та AD відповідно. Тоді, координати цих точок є:
E((5-1)/2, (5+7)/2) = (2,6)
F((7+5)/2, (5-5)/2) = (6,0)
G((7+3)/2, (-5-7)/2) = (5,-6)
H((-1+3)/2, (7-7)/2) = (1,0)
Знаходимо вектори EF та HG, які дорівнюють:
EF = F - E = (6,0) - (2,6) = (4,-6)
HG = G - H = (5,-6) - (1,0) = (4,-6)
Отже, EF і HG мають однакову довжину і паралельні, що свідчить про те, що EFGH є паралелограмом. Таким чином, середини сторін даного чотирикутника є вершинами паралелограма.