Ответ:

• Модуль равен [tex]\displaystyle \boldsymbol{|z|}=\boldsymbol{\sqrt{\frac{13}{41} } }[/tex]
• Аргумент равен [tex]\displaystyle \boldsymbol{\varphi}=\boldsymbol{\mathrm{arctg}\Big(\frac{22}{7} \Big)+\pi}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Сначала выполним деление комплексных чисел:

[tex]\displaystyle z=\frac{2-3i}{4+5i} =\frac{(2-3i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)} =\frac{8-10i-12i+15i^2}{16-25i^2} =\\=\frac{8-22i+15\cdot (-1)}{16-25\cdot (-1)} =\frac{-7-22i}{41} =-\frac{7}{41}+(-\frac{22}{41} )i[/tex]

Число вида z=x+yi называется комплексным, тогда [tex]\displaystyle \boldsymbol{x=-\frac{7}{41} }[/tex], [tex]\displaystyle \boldsymbol{y=-\frac{22}{41} }[/tex].

Тогда модуль комплексного числа:

[tex]\displaystyle \boldsymbol{|z|}=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{\Big(-\frac{7}{41} \Big)^2+\Big(-\frac{22}{41} \Big)^2} =\sqrt{\frac{49}{41^2}+\frac{484}{41^2} } =\sqrt{\frac{533}{41^2} } =\boldsymbol{\sqrt{\frac{13}{41} } }[/tex]

Аргумент комплексного числа:

[tex]\displaystyle \boldsymbol{\varphi}=\mathrm{arctg} \Big(\frac{y}{x}\Big)+\pi =\mathrm{arctg} \Big( \frac{-\frac{22}{41} }{-\frac{7}{41} } \Big)+\pi=\boldsymbol{\mathrm{arctg}\Big(\frac{22}{7} \Big)+\pi}[/tex]