Verified answer

Ответ:

Длина медианы, проведенной к стороне АС равна √21 ед.

Пошаговое объяснение:

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите длину медианы, проведённой к стороне АС, если угол В равен 46°, угол АОС ра= вен 134°.

АС = 2√7.​

Дано: ΔАВС;

АЕ ∩ ВН ∩ СМ = О - медианы.

∠В = 46°; ∠АОС = 134°;

АС = 2√7.

Найти: ВН.

Решение:

Дополнительное построение: продлим ВН на НР = РО.

1. Рассмотрим АОСР - четырехугольник.

ОН = НР (построение)

АН = НС (ВН - медиана)

• Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒ АОСР - параллелограмм.

• Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

⇒ ∠АОС = ∠Р = 134°.

2. Рассмотрим АВСР - четырехугольник.

∠В + ∠Р = 46° + 134° = 180°

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒ ∠ВАР + ∠ВСР = 360° - (∠В + ∠Р) = 180°

• Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

3. Рассмотрим ΔАВС.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть ОН = х, тогда ВО = 2х.

⇒ ВН = 3х.

Также отметим, что

ОН = НР = х.

4. Рассмотрим описанную окружность.

АС и ВР - пересекающиеся хорды.

• Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

⇒ АН · НС = ВН · НР

АН = НС = 2√7 : 2 = √7 (ВН - медиана)

√7 · √7 = 3х · х

3х² = 7

[tex]\displaystyle x=\sqrt{\frac{7}{3} }[/tex]

[tex]\displaystyle BH=3x=\frac{3\sqrt{7} }{\sqrt{3} }=\sqrt{21}[/tex]

Длина медианы, проведенной к стороне АС равна √21 ед.

#SPJ1