Давайте рассмотрим подкоренное выражение, а именно [tex]\sqrt{9-4\sqrt{2}}[/tex]. В этом выражении попробуем выделить полный квадрат, чтобы избавится от этого корня. То есть, мы попробуем применить формулы сокращённого умножения, например [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex], чтобы выделить полный квадрат и избавиться от корня
Мы знаем, что для этого нам нужно удвоенное произведение. Вряд ли девять раскладывается на произведение целых чисел, включающее в себя число да. А вот четыре прекрасно раскладывается как [tex]4=2\cdot 2[/tex]
Мы нашли удвоенное произведение и как правило два умножается на a и на b, по формуле квадрата разности. Тогда в роле a будет [tex]2[/tex], а в роле b - [tex]\sqrt{2}[/tex]. Раз мы нашли a и b, то подставляем в формулу и проверяем
Мы получили совершенно другое выражение, а значит неверно взяли числа за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Пусть на этот раз [tex]a=2\sqrt{2}[/tex], а b будет единицей. Да, не стоит забывать, что [tex]4=4\cdot 1[/tex] !
Заметим, что главный корень никуда не ушёл, а значит нам снова нужно выделить полный квадрат. Мы уже видим удвоенное произведение, а значит в роле [tex]a[/tex] будет [tex]\sqrt{2}[/tex], а в роле [tex]b[/tex] - единица. Подставляем в формулу
Answers & Comments
Давайте рассмотрим подкоренное выражение, а именно [tex]\sqrt{9-4\sqrt{2}}[/tex]. В этом выражении попробуем выделить полный квадрат, чтобы избавится от этого корня. То есть, мы попробуем применить формулы сокращённого умножения, например [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex], чтобы выделить полный квадрат и избавиться от корня
Мы знаем, что для этого нам нужно удвоенное произведение. Вряд ли девять раскладывается на произведение целых чисел, включающее в себя число да. А вот четыре прекрасно раскладывается как [tex]4=2\cdot 2[/tex]
Мы нашли удвоенное произведение и как правило два умножается на a и на b, по формуле квадрата разности. Тогда в роле a будет [tex]2[/tex], а в роле b - [tex]\sqrt{2}[/tex]. Раз мы нашли a и b, то подставляем в формулу и проверяем
[tex]$2^2-2\cdot 2\sqrt{2}+\left ( \sqrt{2} \right )^2=4-2\cdot 2\sqrt{2}+2=6-2\cdot 2\sqrt{2}$[/tex]
Мы получили совершенно другое выражение, а значит неверно взяли числа за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]. Пусть на этот раз [tex]a=2\sqrt{2}[/tex], а b будет единицей. Да, не стоит забывать, что [tex]4=4\cdot 1[/tex] !
[tex]$\left ( 2\sqrt{2} \right )^2-2\cdot2\cdot \sqrt{2}+1^2=8-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+1=9-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}$[/tex]
Мы получили наше подкоренное выражение, а значит сделали всё правильно! Теперь мы можем выделить полный квадрат
[tex]$\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{\left ( 2\sqrt{2}-1 \right )^2}=2\sqrt{2}-1$[/tex]
Тогда, мы можем переписать наше выражение
[tex]$\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}=\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{3+2\sqrt{2}}$[/tex]
Заметим, что главный корень никуда не ушёл, а значит нам снова нужно выделить полный квадрат. Мы уже видим удвоенное произведение, а значит в роле [tex]a[/tex] будет [tex]\sqrt{2}[/tex], а в роле [tex]b[/tex] - единица. Подставляем в формулу
[tex]$\left ( \sqrt{2} \right )^2+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1^2=2+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+1=3+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}$[/tex]
Мы получили наше подкоренное выражение и манежем выделить полный квадрат
[tex]$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{2}+1 \right )^2}=\sqrt{2}+1$[/tex]
Перепишем наше первоначальное выражение
[tex]$\left ( \sqrt{2}-1 \right )\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}=\left ( \sqrt{2}-1 \right )\left ( \sqrt{2}+1 \right )=2-1=1$[/tex]
1
####################