Ответ:

Несобственный интеграл 1 рода :

[tex]\bf \displaystyle \int\limits^{+\infty }_{b}\, f(x)\dx=\lim\limits_{a \to +\infty}\, \int\limits^{a}_{b}\, f(x)\dx=\lim\limits_{a \to +\infty}\, F(x)\Big|_{b}^{a}=\lim\limits_{a \to +\infty}\, \Big(F(a)-F(b)\Big)[/tex]  

 [tex]\bf \displaystyle \int\limits^{+\infty }_{2}\, \frac{dx}{x\cdot lnx}=\lim\limits_{a \to +\infty}\, \int\limits^{a}_{2}\, \frac{\frac{dx}{x}}{lnx}=\lim\limits_{a \to +\infty}\, \int\limits^{a}_{2}\, \frac{d(lnx)}{lnx}=\lim\limits_{a \to +\infty}\Big( ln|\, lnx\, |\Big) \Big|_{2}^{a}=\\\\\\=\lim\limits_{a \to +\infty}\, \Big(\underbrace{\bf ln\Big|\, lna\, \Big|}_{\to \, +\infty }-ln\Big|\, ln2\, }\Big|\Big)=\Big[+\infty -const\, \Big]=+\infty[/tex]  

Так как получили бесконечно большую величину, то интеграл расходится .