Ответ:

ctg(arcsin1/4) = √15

arccos(sin4)  =  4  - 0,5π

cos(arctg3) = 1/√10

arcsin(cos5) = -1,5π + 5

Пошаговое объяснение:

№1

ctg(arcsin1/4)

cos²α + sin²α = 1

[tex]\boldsymbol {\mathrm {ctg } \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha } }[/tex]

[tex]\displaystyle \mathrm{ctg} \big(\arcsin \tfrac{1}{4}\big ) =\frac{ \cos (\arcsin \frac{1}{4 }) }{\sin (\arcsin \frac{1}{4 })}[/tex]

[tex]\sin (\arcsin \frac{1}{4 }) = \dfrac{1}{4}[/tex]

Из ОТТ найдем косинус

[tex]\sin^2 (\arcsin \frac{1}{4 }) + \cos ^2 (\arcsin \frac{1}{4 }) = 1 \\\\ \dfrac{1}{4^2} + \cos ^2 (\arcsin \frac{1}{4 }) = 1 \\\\ \cos ^2 (\arcsin \frac{1}{4 }) = \dfrac{15}{16}[/tex]

Вспомним что arcsin(sinα) = α ∈ [-π/2 ; π/2] ,  1/4 ∈ [-π/2 ; π/2], следовательно косинус положителен

[tex]\cos (\arcsin \frac{1}{4 }) = \dfrac{\sqrt{15}}{4}[/tex]

[tex]\displaystyle \mathrm{ctg} \big(\arcsin \tfrac{1}{4}\big ) =\frac{ \cos (\arcsin \frac{1}{4 }) }{\sin (\arcsin \frac{1}{4 })}=\frac{\dfrac{\sqrt{15} }{4} }{\dfrac{1}{4} } =\sqrt{15}[/tex]

№2

arccos(sin4) , по формуле приведения

[tex]\sin \alpha = \cos (\frac{\pi }{2} -\alpha ) \Rightarrow \sin 4 = \cos (\frac{\pi }{2} -4 )[/tex]

[tex]\arccos(\sin4)=\arccos( \cos (\frac{\pi }{2} -4 ))[/tex]

Вспомним что arccos(cosα) = α ∈ [ 0 ; π] ,   π/2 - 4 ≈ - 2,5 ∉ [ 0 ; π]

Но мы можем воспользоваться четностью косинуса, тем самым подогнав угол к области значений арккосинуса

cosα = cos(-α) ⇒

[tex]\arccos(\sin4)=\arccos( \cos (\frac{\pi }{2} -4 ))=\arccos( \cos -(\frac{\pi }{2} -4 ) ) =\\\\ =\arccos( \cos (4-\frac{\pi }{2} ) )[/tex]

А теперь  4  - π/2  ≈  2,5 ∈ [ 0 ; π]

Следовательно

[tex]\arccos(\sin4)=\arccos( \cos (4-\frac{\pi }{2} )) = 4 -\frac{\pi }{2} = 4 - 0.5\pi[/tex]

№3

cos(arctg3)

[tex]\boldsymbol {\mathrm {tg^2 \alpha } + 1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha } }[/tex]

Cледовательно

[tex]\mathrm {tg^2(\mathrm{arctg } ~3)} + 1=\dfrac{1}{\cos^2(\mathrm{arctg } ~3) }[/tex]

Поскольку у функции арктангенса область определения R,  а область   значений [-π/2 ; π/2],   то

[tex]3^2 + 1=\dfrac{1}{\cos^2(\mathrm{arctg } ~3) } \\\\\\ \cos(\mathrm{arctg } ~3) = \dfrac{1 }{\sqrt{10} } \in [0~ ;~ \pi ][/tex]

№4

arcsin(cos5)

По формуле приведения  

[tex]\sin \alpha = \cos (\frac{3\pi }{2} +\alpha ) \Rightarrow \cos 5 = \cos (\frac{3\pi }{2} +(-\frac{3\pi }{2} +5 )) = \sin (-\frac{3}{2} \pi +5)[/tex]

-3π/2 + 5 ≈ 0.3 ∈  [-π/2 ; π/2]

[tex]\arcsin(\cos5)=\arcsin(\sin (-\frac{3\pi }{2} + 5 )) = \arcsin ( \sin (-1,5\pi +5))= -1,5\pi + 5[/tex]