Решите пожалуйста систему уравнений tgx*tgy=1/3 sinx*siny=1/4. Created by beloriy. algebra-ru

4...

beloriy @beloriy

July 2022 1 13 Report

Решите пожалуйста систему уравнений
tgx*tgy=1/3
sinx*siny=1/4

Answers & Comments

Удачник66

Verified answer

{ tg x*tg y = 1/3
{ sin x*sin y = 1/4
Преобразуем так
{ sin x/cos x*sin y/cos y = (sin x*sin y)/(cos x*cos y) = 1/3
{ sin x*sin y = 1/4
Отсюда
{ sin x*sin y = 1/4
{ cos x*cos y = (sin x*sin y) / (1/3) = (1/4) / (1/3) = 3/4
При этом мы знаем, что sin^2 y + cos^2 y = 1; cos y = √(1 - sin^2 y)
sin y = 1/(4sin x); cos y = √(1 - 1/(16sin^2 x)) = √(16sin^2 x - 1) / (4sin x)
Подставляем во 2 уравнение
cos x*√(16sin^2 x - 1) / (4sin x) = 3/4
Умножаем все на 4
tg x*√(16sin^2 x - 1) = 3
√(16sin^2 x - 1)= 3/tg x = 3ctg x
16sin^2 x = 1 + 9ctg^2 x
Есть формула
sin^2 a = 1/(1 + ctg^2 a)
Подставляем
16 / (1 + ctg^2 x) =1 + 9ctg^2 x
16 = (1 + 9ctg^2 x)(1 + ctg^2 x)
Замена ctg^2 x = t >= 0 при любом х
16 = (1 + 9t)(1 + t) = 1 + 10t + 9t^2
9t^2 + 10t - 15 = 0
D/4 = 5^2 - 9(-15) = 25 + 135 = 160 = (4√10)^2
t1 = (-5 - 4√10)/9 < 0
t2 = (-5 + 4√10)/9 = ctg^2 x
1 + ctg^2 x = 1 + (4√10 - 5)/9 = (9 + 4√10 - 5)/9 = (4√10 + 4)/9
sin^2 x = 1/(1+ctg^2 x) = 9/(4(√10+1)) = 9(√10-1)/(4(10-1)) = (√10-1)/4
sin x = √(√10 - 1) / 2
x = (-1)^n*arcsin [√(√10 - 1) / 2] + pi*n
sin y = 1/(4sin x) = 2/(4√(√10 - 1)) = 1/(2√(√10 - 1)) = √(√10 - 1)/(2(√10 - 1))
y = (-1)^n*arcsin [√(√10 - 1)/(2(√10 - 1))] + pi*n

15 votes Thanks 17

Answers & Comments

Verified answer

Аркфункции, решите пожалуйста хоть что-то...

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что O...

cos10x=cos^2 x-sin^2 xУпростить...

Помогите пожалуйста, нужно упростить выражение...

3)...

Решите пожалуйста квадратное неравенство 2sin^2x+sinx-1<0...

Три выражения, написано упростить, но по моему тут доказать тождество...

2 ______________ Sinxcosy+sinycosx=0 sin(x+y)=0 x+y=pi*n, n e Z и так же с минус...

sqrt3...

Упростить ______________________________________________________________________...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social