Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A1B1C1,  у которых AC = A1C1,  AB = A1B1, ∠A = ∠A1.

Докажите, что △ABC  =  △A1B1C1.

Доказательство:

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина  A1  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A1B1 накладывается на сторону AB,  AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

B1C1 = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A1B1C, значит, △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.