доказать методом математической индукции, что для любого натурального n верно равенство
1*2*3+2*3*4...+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)
1*2*3+2*3*4...+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
Task/24844813---.---.---.---.---.---
доказать методом математической индукции, что для любого натурального n верно равенство
1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=(1/4)*n(n+1)(n+2)(n+3)
----
Решение :
1) n=1 верно 1*2*3 = (1/4)*1*2*3*4 =6
2) пусть верно при k =
Для доказательства применим метод математической индукции.
1) Очевидно, что при n = 1 данное равенство справедливо
1*2*3 = (1/4)*1*2*3*4 =6
2) Предположим, что оно справедливо при некотором k , т.е. имеет место
1*2*3+2*3*4+...+k(k+1)(k+2) = (1/4)*k(k+1)(k+2)(k+3)
3) Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1 .
Рассмотрим соответствующую сумму при n = k + 1 :
1*2*3+2*3*4+...+k(k+1)(k+2) +(k+1)(k+2)(k+3)=
(1/4)*k(k+1)(k+2)(k+3) +(k+1)(k+2)(k+3) =(1/4)*(k+1)(k+2)(k+3) (k +4).
Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n , что и требовалось доказать.