При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2−20x 16)/(4x^2 10x 7)≤a, в ответе укажите самое маленькое целое число, принадлежащее множеству решений.
Решал уже. И вы плюсы не поставили почему-то. (8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) <= a (8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) - a <= 0 (8x^2-20x+16 - a*(4x^2+10x+7)) / (4x^2+10x+7) <= 0 ((8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a)) / (4x^2+10x+7) <= 0 Разложим на множители Знаменатель 4x^2+10x+7 = 0 D = 10^2 - 4*4*7 = 100 - 112 = -12 < 0 Корней нет, знаменатель всегда положителен. Значит, числитель должен быть не положителен при любом x (8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a) <= 0 (8-4a)*x^2 - 2(10+5a)*x + (16-7a) <= 0 Если квадратный трехчлен не принимает значений > 0 ни при каком x, значит, у него коэффициент при x^2 должен быть отрицательным 8 - 4a < 0; отсюда a > 2 А дискриминант должен быть D <= 0, потому что неравенство имеет 1 корень (тогда оно = 0) или не имеет корней (тогда оно < 0). Если бы оно имело 2 корня, то на каком-то отрезке было бы > 0. Находим дискриминант D/4 = (10+5a)^2 - (8-4a)(16-7a) = 100+100a+25a^2-128+64a+56a-28a^2 = = -3a^2 + 220a - 28 Решаем первый случай -3a^2 + 220a - 28 = 0 D/4 = 110^2 - (-3)(-28) = 12100 - 84 = 12016 a1 = (-110-√12016)/(-3) = (110+√12016)/3 ~ 73,2 > 2 a2 = (-110 + √12016)/(-3) = (110-√12016)/3 ~ 0,13 < 2 - не подходит. Ответ: a = (110+√12016)/3 - но это не целое число. Решаем второй случай -3a^2 + 220a - 28 < 0 Тогда a Є ((110 - √12016)/3; (110 + √12016)/3) Но, учитывая условие a > 2, получаем a Є (2: (110 + √12016)/3) Самое маленькое целое решение равно 3.
Answers & Comments
Verified answer
Решал уже. И вы плюсы не поставили почему-то.(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) <= a
(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) - a <= 0
(8x^2-20x+16 - a*(4x^2+10x+7)) / (4x^2+10x+7) <= 0
((8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a)) / (4x^2+10x+7) <= 0
Разложим на множители Знаменатель
4x^2+10x+7 = 0
D = 10^2 - 4*4*7 = 100 - 112 = -12 < 0
Корней нет, знаменатель всегда положителен.
Значит, числитель должен быть не положителен при любом x
(8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a) <= 0
(8-4a)*x^2 - 2(10+5a)*x + (16-7a) <= 0
Если квадратный трехчлен не принимает значений > 0 ни при каком x,
значит, у него коэффициент при x^2 должен быть отрицательным
8 - 4a < 0; отсюда a > 2
А дискриминант должен быть D <= 0, потому что неравенство имеет 1 корень (тогда оно = 0) или не имеет корней (тогда оно < 0).
Если бы оно имело 2 корня, то на каком-то отрезке было бы > 0.
Находим дискриминант
D/4 = (10+5a)^2 - (8-4a)(16-7a) = 100+100a+25a^2-128+64a+56a-28a^2 =
= -3a^2 + 220a - 28
Решаем первый случай
-3a^2 + 220a - 28 = 0
D/4 = 110^2 - (-3)(-28) = 12100 - 84 = 12016
a1 = (-110-√12016)/(-3) = (110+√12016)/3 ~ 73,2 > 2
a2 = (-110 + √12016)/(-3) = (110-√12016)/3 ~ 0,13 < 2 - не подходит.
Ответ: a = (110+√12016)/3 - но это не целое число.
Решаем второй случай
-3a^2 + 220a - 28 < 0
Тогда
a Є ((110 - √12016)/3; (110 + √12016)/3)
Но, учитывая условие a > 2, получаем
a Є (2: (110 + √12016)/3)
Самое маленькое целое решение равно 3.