Verified answer

Ответ:

Индуктивность катушки равна приблизительно 0,2 Гн, а емкость конденсатора равна 7,5 · 10⁻⁹ Ф

Объяснение:

Дано:

[tex]C_{1} =[/tex] 5 · 10⁻⁹ Ф

[tex]\nu_{1} =[/tex] 5000 Гц

[tex]\nu_{2} =[/tex] 2000 Гц

Найти:

[tex]L \ - \ ?[/tex]

[tex]C_{2} \ - \ ?[/tex]

---------------------------------------

Решение:

Формула Томсона:

[tex]T = 2 \pi \sqrt{LC}[/tex]

Частота:

[tex]\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC} }[/tex]

При параллельном соединении конденсаторов:

[tex]C_{3} = C_{1} + C_{2}[/tex]

Составим систему уравнений:

[tex]\displaystyle \left \{ {{ \nu_{1} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{1}} } } \atop { \nu_{2} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{3}} } }} \right \Longrightarrow \dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} = \cfrac{\dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{1}} } }{\dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{3}} }} = \dfrac{2 \pi \sqrt{LC_{3}}}{2 \pi \sqrt{LC_{1}}} = \dfrac{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C_{3}} }{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C_{1}}} = \sqrt{ \frac{C_{3}}{C_{1}} }[/tex]

[tex]\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} = \sqrt{ \dfrac{C_{3}}{C_{1}} }[/tex]

[tex]\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} = \Bigg( \sqrt{ \dfrac{C_{3}}{C_{1}} } \Bigg)^{2}[/tex]

[tex]\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} = \dfrac{C_{3}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} + C_{1}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} }{C_{1}} + \dfrac{ C_{1}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} }{C_{1}} + 1 \Longrightarrow \boldsymbol{ \boxed{ C_{2} = C_{1}\Bigg(\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} - 1 \Bigg) }}[/tex]

Индуктивность:

[tex]\nu = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC} } \Longrightarrow 2 \pi \nu = \dfrac{1}{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C} } \Longrightarrow \sqrt{L} = \dfrac{1}{ 2 \pi \nu\sqrt{C} } \Longrightarrow L = \dfrac{1}{( 2 \pi \nu)^{2}C}[/tex]

[tex]\boldsymbol {\boxed{ L = \dfrac{1}{( 2 \pi \nu_{1})^{2}C_{1}} }}[/tex]

Расчеты:

[tex]\boldsymbol{C_{2}} =[/tex] 5 · 10⁻⁹ Ф((5000 Гц/2000 Гц)² - 1) = 7,5 · 10⁻⁹ Ф

[tex]\boldsymbol L =[/tex] 1 / (5 · 10⁻⁹ Ф(2 · 3,14 · 5000 Гц)²) [tex]\boldsymbol \approx[/tex] 0,2 Гн

Ответ: [tex]C_{2} =[/tex] 7,5 · 10⁻⁹ Ф. [tex]L \approx[/tex] 0,2 Гн.

#SPJ1