Пусть первый крот прокапывает [tex]w_1[/tex], например, метров, туннеля за, например, час (единицы длины и времени здесь абсолютно не важны). Аналогично, пусть [tex]w_2[/tex] обозначает работоспособность второго крота.
Также пусть всего необходимо выкопать [tex]S[/tex] метров туннеля.
Рассмотрим первый вариант выполнения работы: обоим кротам необходимо выкопать [tex]S/2[/tex] метров туннеля. Первый крот выполнит это поручение за [tex]t_1 = \dfrac{S}{2 w_1}[/tex] часов. Аналогично, второй --- за [tex]t_2 = \dfrac{S}{2 w_2}[/tex]. Так, первый крот получит [tex]50t_1[/tex] золотых, а второй --- [tex]50t_2[/tex]. То есть, мэру Зверополиса придётся заплатить [tex]M_1 = 50t_1 + 50t_2 = \dfrac{50S}{2}\bigg(\dfrac{1}{w_1} + \dfrac{1}{w_2}\bigg)[/tex] золотых.
Второй вариант выполнения работы: оба крота копают, пока не встретятся. То есть, оба крота будут выполнять работу одинаковое количество времени [tex]t[/tex]. За это время первый крот прокопает [tex]w_1 t =S_1[/tex] метров, а второй --- [tex]w_2 t = S_2[/tex]. Всего они прокопают [tex]S_1 + S_2 = S[/tex] метров, то есть каждый из них будет копать [tex]t = \dfrac{S}{w_1 + w_2}[/tex] часов. Мэру Зверополиса придётся заплатить [tex]M_2 = 50t + 50 t = \dfrac{100 S}{w_1+w_2}[/tex] золотых.
Остаётся сравнить [tex]M_1[/tex] и [tex]M_2[/tex]:
Отдельно обговорим случай, если k-ый (первый или второй) крот оказался мошенником, то есть его работоспособность [tex]w_k = 0[/tex]. Поэтому, пока что считаем, что оба крота добросовестны и копают [tex]w_{1,2} > 0[/tex] метров в час. Тогда
По условию [tex]w_1 \neq w_2[/tex], поэтому [tex](w_1 - w_2)^2 > 0 \iff M_1 > M_2[/tex].
Очевидно, полученный результат можно будет применить и к случаю мошенника-крота. По условию хотя бы один из них порядочный. Пусть это будет первый крот. Тогда второй крот --- мошенник, который не работает: [tex]w_1 > w_2 = 0[/tex].
Если работа выполняется по первому сценарию, то второй крот никогда не прокопает и метра туннеля, но будет получать плату каждый час пройденного времени. Очевидно, что тогда туннель никогда не будет выкопан, а мэр обанкротит весь город: [tex]M_1 \to +\infty[/tex].
Если работа выполняется по второму сценарию, то туннель будет выкопан исключительно за счёт работы первого крота. Но так ветка зоометро хотя бы вообще будет выкопана (за конечное время), и мэр заплатит [tex]M_2 =50S/w_1[/tex] золотых, что, конечно, меньше [tex]M_1[/tex].
Ответ. Второй вариант наиболее выгодный.
0 votes Thanks 1
d3782741
p15, надобность (или ненадобность) рассмотрения случая неработающего крота лежит полностью на авторах задачи. Я посчитал, что этот момент стоило осветить.
p15
ещё раз. сравнили дроби. выяснили что лучше. в лучшем ответе нет деления на ноль
Answers & Comments
Пусть первый крот прокапывает [tex]w_1[/tex], например, метров, туннеля за, например, час (единицы длины и времени здесь абсолютно не важны). Аналогично, пусть [tex]w_2[/tex] обозначает работоспособность второго крота.
Также пусть всего необходимо выкопать [tex]S[/tex] метров туннеля.
Рассмотрим первый вариант выполнения работы: обоим кротам необходимо выкопать [tex]S/2[/tex] метров туннеля. Первый крот выполнит это поручение за [tex]t_1 = \dfrac{S}{2 w_1}[/tex] часов. Аналогично, второй --- за [tex]t_2 = \dfrac{S}{2 w_2}[/tex].
Так, первый крот получит [tex]50t_1[/tex] золотых, а второй --- [tex]50t_2[/tex]. То есть, мэру Зверополиса придётся заплатить [tex]M_1 = 50t_1 + 50t_2 = \dfrac{50S}{2}\bigg(\dfrac{1}{w_1} + \dfrac{1}{w_2}\bigg)[/tex] золотых.
Второй вариант выполнения работы: оба крота копают, пока не встретятся. То есть, оба крота будут выполнять работу одинаковое количество времени [tex]t[/tex]. За это время первый крот прокопает [tex]w_1 t =S_1[/tex] метров, а второй --- [tex]w_2 t = S_2[/tex]. Всего они прокопают [tex]S_1 + S_2 = S[/tex] метров, то есть каждый из них будет копать [tex]t = \dfrac{S}{w_1 + w_2}[/tex] часов. Мэру Зверополиса придётся заплатить [tex]M_2 = 50t + 50 t = \dfrac{100 S}{w_1+w_2}[/tex] золотых.
Остаётся сравнить [tex]M_1[/tex] и [tex]M_2[/tex]:
[tex]M_1 \bigvee M_2,\\[3ex] \dfrac{50 S}{2}\big(1/w_1 + 1/w_2\big) \bigvee \dfrac{100S}{w_1+w_2},\\[3ex] \dfrac{1}{w_1}+\dfrac{1}{w_2} \bigvee \dfrac{4}{w_1+w_2} \iff \dfrac{1}{w_1 w_2} \bigvee \dfrac{4}{(w_1+w_2)^2}[/tex]
Отдельно обговорим случай, если k-ый (первый или второй) крот оказался мошенником, то есть его работоспособность [tex]w_k = 0[/tex]. Поэтому, пока что считаем, что оба крота добросовестны и копают [tex]w_{1,2} > 0[/tex] метров в час. Тогда
[tex](w_1 + w_2)^2 \bigvee 4w_1 w_2,\\[3ex] w_1^2 + 2w_1 w_2 + w^2_2 - 4w_1 w_2 \bigvee 0,\\[3ex] (w_1 - w_2)^2 \bigvee 0[/tex]
По условию [tex]w_1 \neq w_2[/tex], поэтому [tex](w_1 - w_2)^2 > 0 \iff M_1 > M_2[/tex].
Очевидно, полученный результат можно будет применить и к случаю мошенника-крота. По условию хотя бы один из них порядочный. Пусть это будет первый крот. Тогда второй крот --- мошенник, который не работает: [tex]w_1 > w_2 = 0[/tex].
Если работа выполняется по первому сценарию, то второй крот никогда не прокопает и метра туннеля, но будет получать плату каждый час пройденного времени. Очевидно, что тогда туннель никогда не будет выкопан, а мэр обанкротит весь город: [tex]M_1 \to +\infty[/tex].
Если работа выполняется по второму сценарию, то туннель будет выкопан исключительно за счёт работы первого крота. Но так ветка зоометро хотя бы вообще будет выкопана (за конечное время), и мэр заплатит [tex]M_2 =50S/w_1[/tex] золотых, что, конечно, меньше [tex]M_1[/tex].
Ответ. Второй вариант наиболее выгодный.
ГАЗ52, жалко.